Η ΥΠΕΡΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ POWERPOINT)

         Τα τελευταία χρόνια οι ιδέες της υπερσυμμετρίας (supersymmetry - SUSY) έχουν εφαρμοσθεί με επιτυχία σε πολλά προβλήματα της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής (non-relativistic quantum mechanics). Ειδικότερα βοήθησαν στην κατανόηση της "επιλυσιμότητας" ορισμένων  ειδικών δυναμικών καθώς και στην ανάπτυξη νέων και ισχυρών προσεγγιστικών μεθόδων για την μελέτη δυναμικών που δεν επιλύονται με αναλυτικό τρόπο.  Στην παρουσίαση αυτή αυτή θα δούμε μερικές από τις μεθόδους της ΥΣΚΜ   και θα αναφέρουμε ορισμένες εφαρμογές της. Τα αναλυτικά επιλύσιμα δυναμικά μπορούν να μελετηθούν με τη βοήθεια  λίγων βασικών  αρχών , όπως τα λεγόμενα υπερσυμμετρικά  δυναμικά συνοδείας (supersymmetric partner potentials) , τα δυναμικά αναλλοίωτου σχήματος (shape invariant potentials) και οι μετασχηματισμοί τελεστών. Όλα τα γνωστά επιλύσιμα δυναμικά εμπίπτουν στην κατηγορία των δυναμικών αναλλοίωτου σχήματος.

Μερικά από τα γνωστά δυναμικά που επιλύονται αναλυτικά είναι:

α) το δυναμικό Coulomb 

β) το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή

γ) τα δυναμικά: Eckart  ,  Morse  ,  Rosen-Morse  ,  Poschl-Teller.

 Ειδικότερα λοιπόν:

             Στην αρχή της παρουσίασης της εργασίας θα δούμε  μια πολύ συνοπτική περιγραφή-επανάληψη της μη σχετικιστικής κβαντομηχανικής σε μία διάσταση (απλός αρμονικός ταλαντωτής με την βοήθεια  των τελεστών ανόδου και καθόδου).  Στη συνέχεια θα δούμε  την έννοια του  υπερδυναμικού  (superpotential) και  τα λεγόμενα δυναμικά  συνοδείας,  που μας εισάγουν στις έννοιες  και τις μεθόδους της υπερσυμμετρικής  κβαντομηχανικής.

             Ακολούθως θα αναφερθούμε   στην έννοια   της  «σπασμένης  ή  –μη--  υπερσυμμετρίας»  (broken or unbroken supersymmetry)  και  στον δείκτη του  Witten  μέσω   του οποίου προσδιορίζουμε αν έχουμε περίπτωση σπασμένης  ή  μη υπερσυμμετρίας. Θα ορίσουμε την  «υπερσυμμετρική Χαμιλτονιανή»  και  τους  τελεστές υπερφορτίου  και  πως εφαρμόζονται  ειδικότερα   στην  περίπτωση  του  αρμονικού  ταλαντωτή.  Θα δούμε τον τρόπο με  τον οποίο «κατασκευάζουμε» μια  «ιεραρχία»  Χαμιλτονιανών, και πως  "αντιμετωπίζουμε"  το πρόβλημα της σκέδασης με τη βοήθεια της  υπερσυμμετρίας.              

          Θα παρουσιάσουμε τα   λεγόμενα  δυναμικά   αναλλοίωτου σχήματος  (shape invariant potentials ,  SIPs),   με  τη βοήθεια  των  οποίων  ανακαλύπτουμε  ή  κατασκευάζουμε νέα επιλύσιμα  δυναμικά. Θα αναφερθούμε  στα δυναμικά αναλλοίωτου σχήματος  μέσω μεταφοράς καθώς και σ΄αυτά μέσω κλίμακας. Στην πρώτη κατηγορία (μεταφορά) ανήκουν όλα τα  «διασημα»  δυναμικά της  μη σχετικιστικής κβαντομηχανικής ενώ  στη δεύτερη κατηγορία (κλίμακα) τα δυναμικά  είναι γνωστά  (τουλάχιστον  μέχρι σήμερα)  με  τη  μορφή σειρών. Θα δούμε την  περίπτωση  της  λεγόμενης   «αυτοομοιότητας» (self similarity)και  το γεγονός ότι αποτελεί μερική περίπτωση  της αναλλοιότητας σχήματος. Θα εξετάσουμε  και άλλες  περιπτώσεις  SIPs , για τα οποία θα δώσουμε τις ιδιοτιμές ενέργειας.  

Για να δείτε (ή/και να "κατεβάσετε") την παρουσίαση, πατήστε...................ΕΔΩ 

                            http://lphe.epfl.ch/pebs/Images/susyparticles_sm.png

  http://cache.boston.com/universal/site_graphics/blogs/bigpicture/lhc_08_01/lhc10.jpg

     ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Supersymmetry in Quantum Mechanics, F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme, World Scientific, 2004.

2. Supersymmetry in Quantum and Classical Mechanics, Bijan Kumar Bagchi, Chapman & Hall/Crc, 2001.

3. Supersymmetry in Particle Physics, Ian Aitchison, Cambridge University Press 2007.

ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΕ ΤΟ MATHEMATICA

               Το πρόγραμμα Mathemetica είναι ένα από τα πολλά πακέτα συμβολικής Άλγεβρας που κυκλοφορούν στο εμπόριο. Σίγουρα συγκαταλέγεται μέσα στα ισχυρότερα "πακέτα". Με αυτό μπορούμε να κάνουμε πράξεις, να βρούμε παραγώγους και ολοκληρώματα, να αναπτύξουμε σε σειρές, να λύσουμε εξισώσεις, να επιλύσουμε διαφορικές είτε συμβολικά είτε αριθμητικά, να κάνουμε γραμμική Άλγεβρα, να σχεδιάσουμε συναρτήσεις κλπ. Ένα τέτοιο πακέτο το Mathematica 4 υπάρχει (από το 1999) στις περισσότερες σχολικές βιβλιοθήκες. Αν λοιπόν κάποιος μπορεί να βρει στη βιβλιοθήκη του σχολείου του το συγκεκριμένο πρόγραμμα, πιστεύω ότι αξίζει τον κόπο να διαθέσει κάποιο χρόνο για να το αξιοποιήσει.
                      Στο σύνδεσμο λοιπόν που ακολουθεί μπορείτε να βρείτε μια μικρή εισαγωγή στη γενική χρήση του προγράμματος καθώς και στις (βασικές) εντολές που χρειαζόμαστε για να "κάνουμε" Άλγεβρα και Τριγωνομετρία. Επίσης μπορείτε να κατεβάσετε το έγγραφο που αναφέρεται στις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων. Οι εντολές που περιγράφονται (και στα δύο έγγραφα) μπορούν να μεταφερθούν με copy paste σε κάποιο φύλλο του Μαthematica και να εκτελεσθούν.

Μπορείτε να κατεβάσετε το έγγραφο "Άλγεβρα με το Mathematica" .............................ΕΔΩ

Επίσης το έγγραφο "Γραφικές παραστάσεις με το Mathematica"   ..............................ΕΔΩ1

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΓΕΝΕΙΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ (I). (ΤΟΥ ΣΥΝΑΔΕΛΦΟΥ ΣΤΕΛΙΟΥ ΤΣΕΚΟΥΡΑ)

             Όταν ανάρτησα την ανάλυση για το τύπο του απλού εκκρεμούς, ο εκλεκτός συνάδελφος και καλός φίλος Στέλιος Τσεκούρας, με παρέπεμψε σε μια εργασία του,

με τον τίτλο "Διδακτικογενείς παρανοήσεις (Ι)", όπου εκτός των άλλων εξετάζει και την περίπτωση του απλού εκκρεμούς, θεωρώντας το μάλιστα σαν "ένα τραγικό αποτέλεσμα της μοντέρνας διδασκαλίας, κάτι που αποτελεί την αποθέωση της σύγχυσης". Όταν μελέτησα την εργασία βρήκα πολύ ενδιαφέρον το σκεπτικό με το οποίο κατέληξε στον παραπάνω "αφορισμό" για τη διδασκαλία του απλού εκκρεμούς.

Γράφει λοιπόν στην εισαγωγή του:

          ...ΠΡΟΟΙΜΙΟ: Η επισήμανση του Galileo ότι τα Μαθηματικά αποτελούν την γλώσσα της Φυσικής είναι σήμερα καθολικά αποδεκτή. Όμως ο Καθηγητής                                                     Vladimir Igorevich Arnol’d

επισημαίνει - στο πολύ γνωστό πρόσφατο άρθρο του (The Teaching of Mathematics (1999)) - ότι η σημερινή διδασκαλία των Μαθηματικών στηρίζεται στον εξοβελισμό της Γεωμετρίας και την συνακόλουθη απομάκρυνση από την Φυσική και είναι επομένως ελλιπής.
           Στην παρούσα εργασία (η οποία απευθύνεται αποκλειστικά σε ευαισθητοποιημένους διδάσκοντες) επιχειρώ– ορμώμενος από την ως άνω επισήμανση του Arnol’d – να  εξετάσω πως διαμορφώνεται η διδασκαλία της Δυναμικής στο Επίπεδο στις μέρες μας.....


            Θεωρώ ότι και η απλή ανάγνωση της εργασίας αυτής θα "προβληματίσει" τον αναγνώστη και θα τον κάνει να ξανασκεφτεί τη σχέση της Φυσικής και των μαθηματικών και -ενδεχομένως- και του τρόπου διδασκαλίας τους.

Μπορείτε να διαβάσετε την εργασία..............................................ΕΔΩ
                                                            
                                                                       ή
ακολουθώντας την πορεία:

Tsekouras Stelios Homepage
Teaching Physics Matters.,

Το ανεξάντλητο εύρος της διδασκαλίας.,   

didacdocMis.pdf

 

                                                    (O Vladimir Arnold το 2008)                                                                                      Vladimir Arnold-1.jpg  

                                  Vladimir Igorevich Arnold (1937-2010)

ΧΡΗΣΙΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΟΥ LINUX ΣΤΑ WINDOWS (XP)

        Τα παρακάτω απευθύνονται σε χρήστες των WINDOWS XP (ή σε έμπειρους και τολμηρούς χρήστες των VISTA και 7)

          Έχω κατεβάσει και εγκαταστήσει στα Windows XP, του netbook, που πήραμε πριν δύο χρόνια ως διδάσκοντες στην Α΄γυμνασίου, το KDE 3.5.4 Release με πολλά και χρήσιμα εκπαιδευτικά και άλλα προγράμματα. Φυσικά στα συγκεκριμένα μηχανήματα που τρέχουν και Linux (σύμφωνα με τις προδιαγραφές τους) μπορεί να βρει κανείς τα προγράμματα αυτά στην διανομή του Linux, που είναι εγκατεστημένη στο μηχάνημά του (ή να τα κατεβάσει εύκολα από κάποιο "αποθετήριο"  και να τα εγκαταστήσει). Εύκολη είναι επίσης και η εγκατάσταση σε κάποιο Desktop ή Laptop με Windows XP.
       
         Όλοι μας έχουμε λίγο ως πολύ ακούσει για το λειτουργικό σύστημα Linux. Πολλοί από μας ίσως και να το χρησιμοποιούμε ήδη, είτε σαν κύριο λειτουργικό είτε σαν δεύτερο λειτουργικό σύστημα στον υπολογιστή μας (dual boot), μαζί με τα Windows.
          Ανατρέχοντας στη Βικιπαίδεια διαβάζουμε: "Η ονομασία Linux, που στα ελληνικά προφέρεται λίνουξ, είναι ένας γενικός όρος αναφοράς σε λειτουργικά συστήματα που βασίζονται στον πυρήνα Linux. Η αρχιτεκτονική του Linux είναι παρόμοια με αυτή του λειτουργικού Unix αλλά έχει αναπτυχθεί εκ του μηδενός και δεν περιλαμβάνει κώδικα από το Unix. Η ανάπτυξη του Linux είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα εθελοντικής συνεργασίας από διαδικτυακές κοινότητες, ενώ όλο το έργο είναι ανοικτού κώδικα και ελεύθερα προσβάσιμο από όλους για αντιγραφή, τροποποίηση ή αναδιανομή χωρίς περιορισμό. Το Linux είναι διαθέσιμο υπό άδειες όπως η GNU General Public License."
( http://el.wikipedia.org/wiki/Linux)
           Στο ίδιο λοιπόν άρθρο της Βικιπαίδειας :
        "  Το Linux μπορεί να εγκατασταθεί και να λειτουργήσει σε μεγάλη ποικιλία υπολογιστικών συστημάτων, από μικρές συσκευές όπως κινητά τηλέφωνα^[1][2] μέχρι μεγάλα υπολογιστικά συστήματα και υπερυπολογιστές.^[3][4] Χρησιμοποιείται κατά κόρον σε διακομιστές, αφού η καταγεγραμμένη χρήση Linux σε διακομιστές για το 2008 ανέρχεται σε 60% του συνόλου της αγοράς.  
             Το Linux κυκλοφορεί σε διανομές Linux, δηλαδή ο πυρήνας σε συνδυασμό με συνοδευτικά προγράμματα, όπως βιβλιοθήκες, εργαλεία συστήματος, παραθυρικό περιβάλλον εργασίας και πολλές άλλες εφαρμογές που απαιτούνται για την εύρυθμη λειτουργία ενός υπολογιστή. . Ανάλογα με την φιλοσοφία που ακολουθεί κάθε διανομή μπορεί να δίνει μεγαλύτερη βάση στη φιλικότητα προς τον χρήστη, στις εφαρμογές πολυμέσων, την ευκολία παραμετροποίησης κ.α.
            Δημιουργός του πυρήνα Linux είναι ο Linus Torvalds, από το όνομα του οποίου προήλθε και η ονομασία Linux. O Torvalds άρχισε να αναπτύσσει έναν πυρήνα το 1991 εμπνευσμένος από το λειτουργικό MINIX και χρησιμοποιώντας πολλά προγράμματα και βιβλιοθήκες από το GNU του Richard Stallman. Πάνω στον αρχικό πυρήνα του Torvalds έχουν εργαστεί χιλιάδες χρήστες αλλά και εταιρείες. Λόγω των στενότατων σχέσεων μεταξύ Linux και GNU, πολλές φορές το σύστημα αυτό αναφέρεται ώς GNU/Linux, ονομασία που είναι πιο ακριβής και την προτιμά και το Ίδρυμα Ελεύθερου Λογισμικού"
( http://el.wikipedia.org/wiki/Linux).
           Το Linux (σε αντίθεση με τα Windows), έρχεται με μια σειρά από περιβάλλοντα εργασίας (Desktop Environments), όπως πχ. τα δημοφιλή: GNOME,  KDE και το Xfce.
           Αυτό που ίσως δεν γνωρίζουμε πολλοί είναι το ότι μπορούμε να "τρέξουμε" κάποια προγράμματα του Linux και ειδικότερα του KDE, μέσα από τα Windows (τουλάχιστον στα XP, που τα έχω δοκιμάσει, για τα Vista η εγατάσταση γίνεται σαν διαχειριστής, αλλά παρουσιάζει -όσες φορές επεχείρησα σε διάφορα μηχανήματα- κάποιες δυσκολίες άρα δεν προτείνεται στον "αρχάριο"χρήστη και για τα 7Windows 7 δεν γνωρίζω. Συνεπώς η εγκατάσταση προτείνεται ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΑ WINDOWS XP, στα οποία γίνεται με ευκολία). Για το σκοπό αυτό χρειαζόμαστε το "πακέτο" KDE for Windows. Πριν πούμε πως γίνεται η μεταφόρτωση και η εγκατάσταση, ας δούμε μερικά από τα (χρήσιμα και δωρεάν) προγράμματα που περιέχει.

ΚAlgebra = Graphic calculator

KmPlot = Σχεδιαστής (plotter) μαθηματικών συναρτήσεων

Κig = Διαδραστικό πρόγραμμα γεωμετρίας.

KGeography= Πρόγραμμα Γεωγραφίας

KTurtle = Προγραμματιστικό περιβάλλον

Kalzium = Περιοδικός πίνακας των στοιχείων

KStars = Πλανητάριο

Gwenview = Image viewer

KolourPaint = Πρόγραμμα ζωγραφικής

Ocular = Document viewer

DigiKam = Πρόγραμμα διαχείρισης φωτογραφιών

Konqueror = Web browser

Amarok = Audio player

Juk = Music Player

VLC = Media player (Παίζει τα πάντα).

Dolphin = Διαχειριστής αρχείων

Kate = "Προχωρημένος" κειμενογράφος

KGpg = Εργαλείο κρυπτογράφησης,

                                                               και πολλά άλλα, που σου λύνουν τα χέρια!

Τώρα για την εγκατάσταση:

   Μεταφερόμαστε αρχικά στη διεύθυνση:

http://windows.kde.org/download.php

και κάνουμε "κλικ" στο πράσινο "βελάκι" για να ξεκινήσει το "κατέβασμα" (Download).


           Στο παράθυρο που ανοίγει (με το αρχείο Kde win-installer-gui-latest.exe) επιλέγουμε "αποθήκευση αρχείου"

          Μεταφερόμαστε στο  φάκελο που έχει αποθηκευτεί το αρχείο και με διπλό κλικ ξεκινάμε την διαδικασία εγκατάστασης (Αγνοούμε το μήνυμα: "Δεν ήταν δυνατή η επαλήθευση του εκδότη"....κλπ) και πατάμε "εκτέλεση".

        Στο παράθυρο του installer που εμφανίζεται (δεν αλλάζουμε την προεπιλεγμένη επιλογή, -install from Internet - ιδίως αν είμαστε αρχάριοι ) και πατάμε:  next

      Επιλέγουμε το που θα εγκατασταθεί το πρόγραμμα (καλύτερα να αφήσουμε την προεπιλεγμένη τοποθεσία).

      Στο παράθυρο Install Mode , που εμφανίζεται, δεν "πειράζουμε" τίποτα και πατάμε:  next

      Στο παράθυρο Local storage settings , που εμφανίζεται,  πατάμε:  next

      Στο παράθυρο Internet settings , που εμφανίζεται,  πατάμε:  next

      Στο παράθυρο Download server settings , που εμφανίζεται,  επιλέγουμε:  Southern Europe, Greece (ftp://ftp.ntua.gr) (server του πολυτεχνείου) και στη συνέχεια πατάμε:  next

      Στο παράθυρο  Release selection,  που εμφανίζεται  πατάμε:  next  (Αν τυχόν δίνει πολλές επιλογές διαλέγουμε την έκδοση Stable = σταθερή)

      Στο παράθυρο Package selection , που εμφανίζεται,  επιλέγουμε select all (όλα είναι αξιόλογα) και κατόπιν στο Language selection επιλέγουμε (κλικ) τα Ελληνικά (-el) και ακολούθως  πατάμε:  next
(οπότε αρχίζει το κατέβασμα, και η δική μας αναμονή...)

      Μόλις τελειώσει η εγκατάσταση πατάμε: finish

      Τελικά, ακολουθώντας τη σειρά (αριστερά κλικ): Έναρξη, Προγράμματα, KDE (4.5.4) Release
επιλέγουμε το συγκεκριμένο πρόγραμμα που θέλουμε να "τρέξουμε" (με την προϋπόθεση ότι όλα πήγαν καλά)!

     Καλή επιτυχία και καλή διασκέδαση και εργασία, με τη δύναμη του Linux, στο γνώριμο (στους περισσότερους) περιβάλλον των Windows (XP)!

     

           http://a.images.blip.tv/Jospoortvliet-KDE43DesktopWorkspaceDemo548.png

Για περισσότερες πληροφορίες:

http://techbase.kde.org/Projects/KDE_on_Windows/Installation

ΝΕΟ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ Ή ΝΕΑ ΔΥΝΑΜΗ;

          Τι είναι τελικά αυτό που " βρέθηκε " (;) στον επιταχυντή Tevatron στο Fermilab, σωματίδιο ή κάποια νέα μορφή δύναμης, πέρα από τις 4 γνωστές δυνάμεις (ηλεκτρομαγνητική, βαρυτική, ασθενή πυρηνική και ισχυρή πυρηνική δύναμη); Ή μήπως πρόκειται για "στατιστικό σφάλμα"; Γιατί αν αποκλεισθεί η περίπτωση του σφάλματος, τότε η "ανωμαλία" που παρατηρήθηκε στον (υπό συνταξιοδότηση) επιταχυντή ίσως αποτελεί τη σπουδαιότερη ανακάλυψη στη Φυσική Υψηλών Ενεργειών για τα πενήντα τελευταία χρόνια!

http://ed.fnal.gov/samplers/hsphys/activities/student/graphics/main_ring_tunnel.gif

                          http://www.quantumdiaries.org/wp-content/uploads/2010/03/tevatron.jpg

                       http://www.fnal.gov/pub/inquiring/matter/madeof/standardmodel.jpg

                  http://cms.web.cern.ch/cms/Resources/Website/Physics/SUSY/Susy_1.4.jpg

Για περισσότερα:

Νέο σωματίδιο ή νέα δύναμη της φύσης;
  
Δέος και σκεπτικισμός από τις παρατηρήσεις στο Fermilab

At Particle Lab, a Tantalizing Glimpse Has Physicists Holding Their Breaths

Invariant Mass Distribution of Jet Pairs Produced in Association with a W boson in ppbar Collisions at sqrt(s) = 1.96 TeV

Has the Tevatron Discovered New Physics?

Particle Discovery Has Physicists Abuzz

 

Επίσης δείτε την πολύ ωραία ανάρτηση για το θέμα στο blog:

Σελίδες Φυσικής

στη διεύθυνση:

Τι βρήκε το Fermilab; Νέο σωματίδιο ή μια νέα δύναμη;

ΕΝΑ ΑΠΛΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΔΙΑΣΤΕΛΟΜΕΝΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ

      O Alexander Alexandrovich Friedman or Friedmann ήταν σπουδαίος Ρώσος  μαθηματικός και κοσμολόγος.  Στα 1922 ανακάλυψε τη λύση του "διαστελλόμενου σύμπαντος" των εξισώσεων πεδίου της Γενικής θεωρίας της σχετικότητας του Einstein.

     

Σήμερα η κλασσική λύση των εξισώσεων πεδίου του Einstein, η οποία περιγράφει ένα ομογενές και ισότροπο σύμπαν ονομάζεται: "Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric", προς τιμήν των Friedmann, Lemaitre, Robertson και Walker που εργάσθηκαν σ΄αυτό το πεδίο στις δεκαετίες του 20 και του 30.

   
Για να μελετήσουμε τη διαστολή του Σύμπαντος, με τη βοήθεια του νόμου του Newton, (χρησιμοποιώντας παράλληλα μόνο φυσική και μαθηματικά Λυκείου), θα χρειασθούμε:

1. Το νόμο της παγκόσμιας έλξης του NEWTON:
 

 

2. Την υπόθεση ότι το Σύμπαν προσεγγίζεται σαν ένα Νευτώνειο σύστημα, με την τροχιά των σωματιδίων να δίνεται από κάποια σχέση της μορφής:

                                  x(t) = x(t0).R(t)/R(t0)

με τα R(t0) και x(t0) να θεωρούνται σταθερές.

Μπορείτε να κατεβάσετε την εργασία ............................................................ΕΔΩ

ΥΠΕΡΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ MORSE (WITTEN 1982). (ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ POWERPOINT)

                    Σ’ ένα paper  με τον τίτλο: Supersymmetry and Morse Theory, http://www.rlmiller.org/superseminar/witten.pdf , που  δημοσίευσε στο Journal of Difeferential Geometry, volume 17, number 4 (1982) [pages 661-692],  ο Edward Witten βασιζόμενος σε  επιχειρήματα από την Υπερσυμμετρική  Κβαντομηχανική έδειξε ένα «εναλλακτικό» τρόπο για να αποδείξει κανείς τις ανισότητες του  Morse.  Στο συγκεκριμένο paper  ο Witten  αναπαράγει  και αποδεικνύει τις ανισότητες του  Morse με την βοήθεια εννοιών της Φυσικής  (Super-symmetric Quantum Mechanics).  Στο ίδιο paper απέδειξε ότι  κβαντομηχανικά  συστήματα  που υπακούουν  σε μια  «εκλεπτυσμένη» υπερσυμμετρική άλγεβρα , σχετίζονται  με τα θεωρήματα  σταθερού σημείου των διανυσματικών πεδίων Killing. Επίσης μελέτησε τη δυνατότητα επέκτασης της υπερσυμμετρικής κβαντομηχανικής σε μια υπερσυμμετρική κβαντική θεωρία πεδίου

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Edward_Witten.jpg/340px-Edward_Witten.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/Marston_Morse.jpg/200px-Marston_Morse.jpg


Για μια παρουσίαση (Powerpoint to Pdf), της απόδειξης των "ασθενών ανισοτήτων" του Morse από τον Witten .............................................................................ΕΔΩ

Για μια παρουσίαση της θεωρίας του Morse...............................................ΕΔΩ1

3 ΑΠΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ

        ...Τα πιο ισχυρά quasars έχουν φωτεινότητα περίπου 10⁴⁰  W. Πόση ποσότητα μάζας ανά δευτερόλεπτο πρέπει να καταναλώνει η κεντρική μελανή οπή για να παράγει αυτή τη φωτεινότητα; Υπολογίστε πόσες ηλιακές μάζες καταβροχθίζει η μελανή οπή σ’ ένα έτος. Υποθέστε ότι μόνο το 10% της μάζας που καταναλώνεται ακτινοβολείται.

    ....Πως με τη βοήθεια παρατηρήσεων του φαινομένου Doppler μπορούμε να  "υπολογίσουμε" τη μάζα ενός γαλαξία;  

      ...Πως βρίσκουμε την ακτίνα ενός αστέρα αν γνωρίζουμε την φωτεινότητά του και την επιφανειακή του θερμοκρασία;

     Στο συνημμένο μπορεί κανείς να δει πως "αντιμετωπίζουμε" τέτοια ερωτήματα, χρησιμοποιώντας (απλά και μόνο) Μαθηματικά και Φυσική Λυκείου.

 Κατεβάζουμε το συνημμένο πατώντας ............................................ΕΔΩ

     http://www.universetoday.com/wp-content/uploads/2007/09/2007-0907blackhole.jpg

                    http://farm3.static.flickr.com/2413/2199989118_a8c0f7bee9.jpg?v=0

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΤΟ MATHEMATICA

                        Το πρόγραμμα Mathemetica είναι ένα από τα πολλά πακέτα συμβολικής Άλγεβρας που κυκλοφορούν στο εμπόριο. Σίγουρα συγκαταλέγεται μέσα στα ισχυρότερα "πακέτα" Με αυτό μπορούμε να κάνουμε πράξεις, να βρούμε παραγώγους και ολοκληρώματα, να αναπτύξουμε σε σειρές, να λύσουμε εξισώσεις, να επιλύσουμε διαφορικές είτε συμβολικά είτε αριθμητικά, να κάνουμε γραμμική Άλγεβρα, να σχεδιάσουμε συναρτήσεις κλπ. Ένα τέτοιο πακέτο το Mathematica 4 ήρθε και στη σχολική βιβλιοθήκη του 9 και 19 Γυμνασίου, το 19 είναι το σχολείο που υπηρετώ, το 1999 (αν θυμάμαι καλά) και απ' ότι είχα ακούσει τότε είχε δοθεί και σε άλλες περίπου 500 βιβλιοθήκες. Αν λοιπόν κάποιος μπορεί να βρει στη βιβλιοθήκη του σχολείου του το συγκεκριμένο πρόγραμμα, πιστεύω ότι αξίζει τον κόπο να διαθέσει κάποιο χρόνο για να το αξιοποιήσει.
                      Στο σύνδεσμο λοιπόν που ακολουθεί μπορείτε να βρείτε μια μικρή εισαγωγή στις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων. Οι εντολές που περιγράφονται μπορούν να μεταφερθούν με copy paste σε κάποιο φύλλο του Μαthematica και να εκτελεσθούν.

Για να κατεβάσετε την συγκεκριμένη εφαρμογή.....................................ΕΔΩ

Η «ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ» ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

        Στην εργασία αυτή είδαμε ότι η «προσθετική ιδιότητα» της κινητικής ενεργειας, εμφανίζεται σωστή στα ορθογώνια (ακόμη και καμπυλόγραμμα) συστήματα συντεταγμένων. Αποδεικνύεται «εσφαλμένη» σε μη-ορθογώνια συστήματα αναφοράς (εκεί δηλαδή που οι συντεταγμένες «μπλέκονται» μεταξύ τους), όπως πχ στους πλάγιους άξονες στο επίπεδο, που μελετήσαμε.

         Ο λόγος είναι ότι η κινητική ενέργεια είναι μεν βαθμωτό μέγεθος, εξαρτάται όμως από το τετράγωνο της ταχύτητας, (το εσωτερικό γινόμενο δηλαδή της ταχύτητας επί τον εαυτό της). Έτσι στα μη ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων, ενώ παραμένει αναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς  συστημάτων αναφοράς ( όπως οφείλει σαν βαθμωτό –scalar- μέγεθος), «χάνει» την «προσθετική» της ιδιότητα. Εμφανίζονται επί πλέον προσθετέοι που οφείλονται στη «μίξη» των συντεταγμένων, που όπως θέλω να ελπίζω, φάνηκε στην εργασία. 

            Στην εργασία γίνεται χρήση (λίγων και απλών) στοιχείων τανυστικού λογισμού. Για την ακρίβεια χρειαζόμαστε μόνο την έννοια της μετρικής και του εσωτερικού γινομένου, όπως αυτό γενικεύεται σε μη - ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων. Τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία παρουσιάζονται (θέλω να πιστεύω με κατανοητό τρόπο) στην εργασία.

            

       http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQARYZXYXbv3JveH368j_U9JRH6rKdlBuES-ApnjKmYvMufKz-Q  

Για να διαβάσετε την εργασία, κάντε κλικ................ΕΔΩ 

          ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝA:

     Η προσθετική ιδιότητα της ενέργειας
του συνάδελφου Δημήτρη Τσαούση (PhD)

http://users.sch.gr/kassetas/yPrincipioIndipendenza5.htm, του συνάδελφου Ανδρέα Κασσέτα.