Η ΠΙΕΣΗ (ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΙΑ ΤΗ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ)

 Μια παρουσίαση για την πίεση, για τη Β΄ γυμνασίου. Περιλαμβάνει 2 μέρη.

                                               Η ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Α) 

                                          Η ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Β)  

 

ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΟ)

  ...H ύλη αποτελείται από άτομα, μέσα στα οποία τα αρνητικά φορτισμένα ηλεκτρόνια έλκονται από το θετικά φορτισμένο πυρήνα, μέσω της ηλεκτρομαγνητικής δύναμης.

Η χαρακτηριστική διάμετρος του ατόμου είναι περίπου 0,3 nm....

 

 

ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΟ)

 

 

 

 

ΚΥΜΑΤΑ (ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ)

 Μια εισαγωγή στα κύματα μέσω μιας παρουσίασης. Για τους μαθητές της Γ' Γυμνασίου.

 Για να δείτε την παρουσίαση κάντε κλικ στο παρακάτω link:

 

ΚΥΜΑΤΑ (ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ)

 

 

Η ΥΠΕΡΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ POWERPOINT)

         Τα τελευταία χρόνια οι ιδέες της υπερσυμμετρίας (supersymmetry - SUSY) έχουν εφαρμοσθεί με επιτυχία σε πολλά προβλήματα της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής (non-relativistic quantum mechanics). Ειδικότερα βοήθησαν στην κατανόηση της "επιλυσιμότητας" ορισμένων  ειδικών δυναμικών καθώς και στην ανάπτυξη νέων και ισχυρών προσεγγιστικών μεθόδων για την μελέτη δυναμικών που δεν επιλύονται με αναλυτικό τρόπο.  Στην παρουσίαση αυτή αυτή θα δούμε μερικές από τις μεθόδους της ΥΣΚΜ   και θα αναφέρουμε ορισμένες εφαρμογές της. Τα αναλυτικά επιλύσιμα δυναμικά μπορούν να μελετηθούν με τη βοήθεια  λίγων βασικών  αρχών , όπως τα λεγόμενα υπερσυμμετρικά  δυναμικά συνοδείας (supersymmetric partner potentials) , τα δυναμικά αναλλοίωτου σχήματος (shape invariant potentials) και οι μετασχηματισμοί τελεστών. Όλα τα γνωστά επιλύσιμα δυναμικά εμπίπτουν στην κατηγορία των δυναμικών αναλλοίωτου σχήματος.

Μερικά από τα γνωστά δυναμικά που επιλύονται αναλυτικά είναι:

α) το δυναμικό Coulomb 

β) το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή

γ) τα δυναμικά: Eckart  ,  Morse  ,  Rosen-Morse  ,  Poschl-Teller.

 Ειδικότερα λοιπόν:

             Στην αρχή της παρουσίασης της εργασίας θα δούμε  μια πολύ συνοπτική περιγραφή-επανάληψη της μη σχετικιστικής κβαντομηχανικής σε μία διάσταση (απλός αρμονικός ταλαντωτής με την βοήθεια  των τελεστών ανόδου και καθόδου).  Στη συνέχεια θα δούμε  την έννοια του  υπερδυναμικού  (superpotential) και  τα λεγόμενα δυναμικά  συνοδείας,  που μας εισάγουν στις έννοιες  και τις μεθόδους της υπερσυμμετρικής  κβαντομηχανικής.

             Ακολούθως θα αναφερθούμε   στην έννοια   της  «σπασμένης  ή  –μη--  υπερσυμμετρίας»  (broken or unbroken supersymmetry)  και  στον δείκτη του  Witten  μέσω   του οποίου προσδιορίζουμε αν έχουμε περίπτωση σπασμένης  ή  μη υπερσυμμετρίας. Θα ορίσουμε την  «υπερσυμμετρική Χαμιλτονιανή»  και  τους  τελεστές υπερφορτίου  και  πως εφαρμόζονται  ειδικότερα   στην  περίπτωση  του  αρμονικού  ταλαντωτή.  Θα δούμε τον τρόπο με  τον οποίο «κατασκευάζουμε» μια  «ιεραρχία»  Χαμιλτονιανών, και πως  "αντιμετωπίζουμε"  το πρόβλημα της σκέδασης με τη βοήθεια της  υπερσυμμετρίας.              

          Θα παρουσιάσουμε τα   λεγόμενα  δυναμικά   αναλλοίωτου σχήματος  (shape invariant potentials ,  SIPs),   με  τη βοήθεια  των  οποίων  ανακαλύπτουμε  ή  κατασκευάζουμε νέα επιλύσιμα  δυναμικά. Θα αναφερθούμε  στα δυναμικά αναλλοίωτου σχήματος  μέσω μεταφοράς καθώς και σ΄αυτά μέσω κλίμακας. Στην πρώτη κατηγορία (μεταφορά) ανήκουν όλα τα  «διασημα»  δυναμικά της  μη σχετικιστικής κβαντομηχανικής ενώ  στη δεύτερη κατηγορία (κλίμακα) τα δυναμικά  είναι γνωστά  (τουλάχιστον  μέχρι σήμερα)  με  τη  μορφή σειρών. Θα δούμε την  περίπτωση  της  λεγόμενης   «αυτοομοιότητας» (self similarity)και  το γεγονός ότι αποτελεί μερική περίπτωση  της αναλλοιότητας σχήματος. Θα εξετάσουμε  και άλλες  περιπτώσεις  SIPs , για τα οποία θα δώσουμε τις ιδιοτιμές ενέργειας.  

Για να δείτε (ή/και να "κατεβάσετε") την παρουσίαση, πατήστε...................ΕΔΩ 

                            http://lphe.epfl.ch/pebs/Images/susyparticles_sm.png

  http://cache.boston.com/universal/site_graphics/blogs/bigpicture/lhc_08_01/lhc10.jpg

     ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Supersymmetry in Quantum Mechanics, F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme, World Scientific, 2004.

2. Supersymmetry in Quantum and Classical Mechanics, Bijan Kumar Bagchi, Chapman & Hall/Crc, 2001.

3. Supersymmetry in Particle Physics, Ian Aitchison, Cambridge University Press 2007.

ΥΠΕΡΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ MORSE (WITTEN 1982). (ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ POWERPOINT)

                    Σ’ ένα paper  με τον τίτλο: Supersymmetry and Morse Theory, http://www.rlmiller.org/superseminar/witten.pdf , που  δημοσίευσε στο Journal of Difeferential Geometry, volume 17, number 4 (1982) [pages 661-692],  ο Edward Witten βασιζόμενος σε  επιχειρήματα από την Υπερσυμμετρική  Κβαντομηχανική έδειξε ένα «εναλλακτικό» τρόπο για να αποδείξει κανείς τις ανισότητες του  Morse.  Στο συγκεκριμένο paper  ο Witten  αναπαράγει  και αποδεικνύει τις ανισότητες του  Morse με την βοήθεια εννοιών της Φυσικής  (Super-symmetric Quantum Mechanics).  Στο ίδιο paper απέδειξε ότι  κβαντομηχανικά  συστήματα  που υπακούουν  σε μια  «εκλεπτυσμένη» υπερσυμμετρική άλγεβρα , σχετίζονται  με τα θεωρήματα  σταθερού σημείου των διανυσματικών πεδίων Killing. Επίσης μελέτησε τη δυνατότητα επέκτασης της υπερσυμμετρικής κβαντομηχανικής σε μια υπερσυμμετρική κβαντική θεωρία πεδίου

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Edward_Witten.jpg/340px-Edward_Witten.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/Marston_Morse.jpg/200px-Marston_Morse.jpg


Για μια παρουσίαση (Powerpoint to Pdf), της απόδειξης των "ασθενών ανισοτήτων" του Morse από τον Witten .............................................................................ΕΔΩ

Για μια παρουσίαση της θεωρίας του Morse...............................................ΕΔΩ1

ΔΥΜΑΜΕΙΣ ΤΟΥ ΔΕΚΑ (POWERS OF TEN)

                       

                Οι περισσότεροι μαθητές στο Γυμνάσιο είναι παρατηρημένο ότι δεν κατανοούν πλήρως τις δυνάμεις του 10. Αυτό φαίνεται αν πχ τους ρωτήσει κανείς πόσο είναι το μισό του 10¹⁰ οι περισσότεροι απαντούν ότι είναι το ...10⁵ . Στην παρουσίαση που παραπέμπει ο παρακάτω σύνδεσμος μπορείτε να “περιηγηθείτε” στις δυνάμεις του 10. Δεν ξέρω αν και κατά πόσο μπορεί να βοηθήσει στην κατανόηση των δυνάμεων του 10, σε κάθε περίπτωση όμως είναι εντυπωσιακή.

Για μια περιήγηση στις δυνάμεις του 10 ..........................................ΕΔΩ.


 Και ένα video με τις δυνάμεις του 10 από το You Τube (Ελληνικοί υπότιτλοι):

Η κλίμακα του Σύμπαντος!

Μια όμορφη διαδραστική παρουσίαση, των διαφόρων "μεγεθών" του Σύμπαντος

                                                           POWERS OF TEN

Most students in high school do not fully understand the powers of 10. If you ask them how much is half  the 10¹⁰ most of them answer ... 10⁵. In the following presentation, referred to the link below, you can “browse” the forces of 10. I do not know whether and how it can help in understanding the forces of 10, in any case it is striking.
For a tour of the powers of 10........................................................... HERE .
From CERN.......................................................................................HERE 2

                                          
                       Also see the video From Υou Τube  (Without Greek subtitles):    


                                                                             

ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ - ΘΕΩΡΙΑ MORSE (TOPOLOGY - MORSE THEORY).

            Η τοπολογία (τόπος + λόγος=μελέτη) αποτελεί ένα μεγάλο και σπουδαίο κλάδο των μαθηματικών που ασχολείται με τις «χωρικές» ιδιότητες των αντικειμένων, οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από συνεχείς παραμορφώσεις (συνεχείς μετασχηματισμούς), όπως για παράδειγμα  παραμορφώσεις που αφορούν το τέντωμα  ή  τη συστροφή μιας επιφάνειας, χωρίς να επιτρέπεται το σχίσιμο ή η συγκόλληση ή το γέμισμα (κλείσιμο) οπών. 

          Για την ανάπτυξή της  η τοπολογία απαιτεί έννοιες από τη θεωρία  των συνόλων και από  τη γεωμετρία, έννοιες όπως πχ αυτή του χώρου, της διάστασης και του μετασχηματισμού. Μπορούμε να πούμε επίσης  ότι η τοπολογία είναι η  μελέτη των συνόλων, στα οποία μπορεί να ορισθεί μια έννοια  «κλειστότητας» έτσι ώστε να διακρίνεται η συνέχεια για οιαδήποτε συνάρτηση που ορίζεται σ’ αυτά.  Θεμελιώδεις έννοιες όπως: σύγκλιση, όριο, συνέχεια, συνεκτικότητα, συμπάγεια, συναντούν στην τοπολογία την καλύτερη μορφοποίησή τους.

          Προάγγελος της τοπολογίας θεωρείται το άρθρο του διάσημου  Ελβετού  μαθηματικού Leonard Euler στα 1736 με τον τίτλο:  « Seven bridges  of Konigsberg»,  στο οποίο ο  Euler απέδειξε ότι είναι αδύνατο να βρει κανείς μια διαδρομή στην πόλη του Konigsberg (σημερινό  Kaliningrad) που να περνάει ακριβώς μια και  μόνο φορά από κάθε μια  απ’ τις επτά γέφυρες.

                                     http://en.wikipedia.org/wiki/File:Konigsberg_bridges.png

          Ο Harold Calvin Marston Morse (1892-1977) , είναι ένας σπουδαίος Αμερικανός μαθηματικός, κυρίως γνωστός για την θεωρία που φέρει τ ’όνομά του, «Θεωρία του Morse»,  στη  διαφορική τοπολογία. Το 1933 τιμήθηκε με το βραβείο “Boher Memorial” για τη δουλειά του στη μαθηματική ανάλυση. 

  Marston Morse (1892-1977)

                                    Εικόνα από:  http://www.ams.org/images/morse.jpg

Η θεωρία του Morse βρίσκει εφαρμογή σε πολλές περιοχές της σύγχρονης  μαθηματικής φυσικής (όπως πχ στη θεωρία των χορδών.)

     
     Για περισότερες πληροφορίες:     http://www.ams.org/about-us/presidents/26-morse

Δείτε μια μικρή παρουσίαση σε Pdf (από Powerpoint) μερικων βασικών εννοιών της τοπολογίας και της θεωρίας του Morse  .........................................................ΕΔΩ