ΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ

   Αποδεικνύουμε με μαθηματική επαγωγή μια πολύ ενδιαφέρουσα ταυτότητα:

 

ΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ 

 

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Στα επόμενα θα δούμε μερικά στοιχεία για τις υπερβολικές συναρτήσεις. Θα δούμε πως ορίζονται και ποια είναι τα γραφήματά τους. Επίσης κάποιες ιδιότητες τους (κάποιες ταυτότητες που ικανοποιούν, κατ' αναλογία με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις). Και τέλος θα δούμε και κάποια πράγματα που αφορούν στο “λογισμό” (διαφόριση, ολοκλήρωση, ανάπτυγμα σε σειρά) των υπερβολικών συναρτήσεων.

Για την εργασία κάντε κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο:

 

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 

 

 

 

 

Βρείτε το χαμηλότερο ύψος

        Στο δικτυακό τόπο: Υλικό Φυσικής-Χημείας, του συνάδελφου και φίλου Διονύση Μάργαρη, ο φίλος και συνάδελφος Σπύρος Χόρτης, έβαλε το ακόλουθο πρόβλημα:

        Διαθέτουμε δύο πανομοιότυπα μπαλάκια φτιαγμένα απο υλικό που σπάει. Θέλουμε να διαπιστώσουμε απο ποιο όροφο και πάνω ενός ουρανοξύστη 100 ορόφων αν αφήσουμε ένα μπαλάκι να πέσει ελεύθερα θα σπάσει.
        Ζητείται η μέθοδος που θα δώσει απάντηση στο ζητούμενο, με τις λιγότερες δυνατές προσπάθειες.

ΚΑΠΟΙΕΣ ΣΚΕΨΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Αποδεικνύοντας μια Χρήσιμη Ανισότητα

     



            
ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΝΤΑΣ ΜΙΑ ΧΡΗΣΙΜΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ i^i

    Ποια είναι η τιμή της παράστασης i^i ΄;

    Είναι αριθμός φανταστικός, μιγαδικός ή μήπως είναι πραγματικός;

    ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ i^i





                                                           Leonhard Euler

Υπολογισμός ολοκληρώματος (με "παραμετρική διαφόριση")

Υπολογισμός ενός ολοκληρώματος  (dropbox)

Υπολογισμός ενός ολοκληρώματος   (slideshare)

ΜΗΔΕΝΙΚΟΣ ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ.

      Ένα πεδίο δυνάμεων χαρακτηρίζεται συντηρητικό, όταν το έργο (επικαμπύλιο ολοκλήρωμα) της δύναμης σε οποιαδήποτε διαδρομή είναι ανεξάρτητο της ακολουθούμενης διαδρομής και εξαρτάται μόνο από την αρχή και το τέλος (άκρα της διαδρομής). Σε ένα τέτοιο πεδίο, το έργο κατά μήκος οποιασδήποτε κλειστής διαδρομής (κλειστό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα) είναι ίσο με το μηδέν.

      Όταν ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό, τότε ο στροβιλισμός της δύναμης είναι ίσος με το μηδέν. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα του Stokes (ή του Green, αν είμαστε στο επίπεδο). Το ερώτημα είναι: Αν γνωρίζουμε ότι ο στροβιλισμός της δύναμης είναι μηδέν, μπορούμε να πούμε (με βεβαιότητα) ότι το πεδίο είναι συντηρητικό;   

     Θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στο ερώτημα με τη βοήθεια ενός παραδείγματος:      

ΜΗΔΕΝΙΚΟΣ ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ. 

                                     Sir George Gabriel Stokes

Και μια "κωδικοποίηση":

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΤΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ

Ένα πρόβλημα ...του S.Ramanujan (Του Γιάννη Δογραματζάκη)

           "Χρειαζόμουν να βρω τον τρόπο που μεταβάλλεται η οξεία γωνία που είναι απέναντι από την σταθερά πλευρά. Το πρόβλημα μου φαινόταν γνωστό. Κάπου είχα συναντήσει ένα παρόμοιο μαθηματικό θέμα. Τελικά το βρήκα ...Είναι παρόμοιο με ένα πρόβλημα του Ramanujan"....

                                                                           (Γιάννης Δογραματζάκης)

Δείτε την εργασία: 

Ένα πρόβλημα ...του S.Ramanujan  

                                                       Srinivasa Ramanujan

(Ευχαριστώ πολύ τον καλό φίλο και συνάδελφο Γιάννη Δογραματζάκη, για την πολύ όμορφη εργασία του, μία από τις πολλές που μας έχει προσφέρει, σαν μέλος του δικτύου "Υλικό Φυσικής Χημείας".

Η εργασία αυτή έχει αναρτηθεί στο δίκτυο "Υλικό Φυσικής Χημείας" του καλού φίλου και συνάδελφου Διονύση Μάργαρη, τον οποίο θέλω και από εδώ να ευχαριστήσω για την προσφορά του στη διδασκαλία -και όχι μόνον- της Φυσικής και γενικότερα των Φυσικών Επιστημών).

ΕΝΑ...ΣΥΝΕΧΕΣ ΚΛΑΣΜΑ

     Στην παρακάτω εργασία παρατίθεται ...ένα συνεχές  κλάσμα.

ΕΝΑ ΣΥΝΕΧΕΣ ΚΛΑΣΜΑ

Εικόνα από τη διεύθυνση:
http://upload.wikimedia.org/math/6/2/9/62971363e3321d4371bd3c8fbed1ae6a.png

ΤΑ ΤΕΣΣΕΡΑ ΤΕΣΣΑΡΙΑ!

         Όλοι οι ακέραιοι από το 1 μέχρι και το 100 χρησιμοποιώντας (υποχρεωτικά) τέσσερα τεσσάρια.

 

ΤΑ ΤΕΣΣΕΡΑ ΤΕΣΣΑΡΙΑ!

       

Googol-Googolplex-Googolplexian

        ...Για να πάρουμε μια ιδέα του μεγέθους του googol, ας δούμε πόσα άτομα υδρογόνου πρέπει να βάλουμε το ένα δίπλα στο άλλο, πάνω στην ίδια ευθεία, ώστε να καλύψουμε τη διάμετρο του γνωστού Σύμπαντος. Με δεδομένο ότι η ακτίνα του υδρογόνου είναι της τάξης του 10^(-10)  m, ενώ η ακτίνα του Σύμπαντος είναι της τάξης του 10^26 m, βρίσκουμε ότι αρκούν «μόνο» 10^36 άτομα υδρογόνου.   Αν αντί ατόμων χρησιμοποιούσαμε πυρήνες υδρογόνου (πρωτόνια), δεδομένου ότι η ακτίνα του πρωτονίου είναι της τάξης του 10^(-15) m, θα χρειαζόμασταν «μόλις» 10^41  πρωτόνια. Επίσης αν διαιρέσουμε τη μάζα του Σύμπαντος (10^52 Kg) με την μάζα του ηλεκτρονίου, η οποία είναι περίπου 9.10^(-31)kg, βρίσκουμε πηλίκο της τάξης του 10^82 που εξακολουθεί να είναι πολύ μικρότερο του ενός googol. Αν θεωρήσουμε το λεγόμενο χρόνο του Planck: tp=5,4.10^(-44)s  , σαν «κβάντο» μέτρησης του χρόνου, τότε η ηλικία του Σύμαπαντος (από την μεγάλη έκρηξη μέχρι τις μέρες μας) είναι «μόλις» 10^60  έως 10^61  «χρόνοι Planck»...

     Μπορείτε να διαβάσετε ή και να κατεβάσετε την εργασία:

GOOGOL-GOOGOLPLEX-GOOGOLPLEXIAN 

                            Googol and Googolplex by Carl Sagan