Σ’ ένα paper με τον τίτλο: Supersymmetry and Morse Theory, http://www.rlmiller.org/superseminar/witten.pdf , που δημοσίευσε στο Journal of Difeferential Geometry, volume 17, number 4 (1982) [pages 661-692], οEdward Wittenβασιζόμενος σε επιχειρήματα από την Υπερσυμμετρική Κβαντομηχανική έδειξε ένα «εναλλακτικό» τρόπο για να αποδείξει κανείς τις ανισότητες του Morse. Στο συγκεκριμένο paper ο Wittenαναπαράγει και αποδεικνύει τις ανισότητες του Morse με την βοήθεια εννοιών της Φυσικής (Super-symmetricQuantumMechanics). Στο ίδιο paper απέδειξε ότι κβαντομηχανικά συστήματα που υπακούουν σε μια «εκλεπτυσμένη» υπερσυμμετρική άλγεβρα , σχετίζονται με τα θεωρήματα σταθερού σημείου των διανυσματικών πεδίων Killing. Επίσης μελέτησε τη δυνατότητα επέκτασης της υπερσυμμετρικής κβαντομηχανικής σε μια υπερσυμμετρική κβαντική θεωρία πεδίου
Για μια παρουσίαση (Powerpoint to Pdf), της απόδειξης των "ασθενών ανισοτήτων" του Morse από τον Witten .............................................................................ΕΔΩ
Για μια παρουσίαση της θεωρίας του Morse...............................................ΕΔΩ1
...Τα πιο ισχυρά quasars έχουν φωτεινότητα περίπου 1040 W. Πόση ποσότητα μάζας ανά δευτερόλεπτο πρέπει να καταναλώνει η κεντρική μελανή οπή για να παράγει αυτή τη φωτεινότητα; Υπολογίστε πόσες ηλιακές μάζες καταβροχθίζει η μελανή οπή σ’ ένα έτος. Υποθέστε ότι μόνο το 10% της μάζας που καταναλώνεται ακτινοβολείται.
....Πως με τη βοήθεια παρατηρήσεων του φαινομένουDoppler μπορούμε να "υπολογίσουμε" τη μάζα ενός γαλαξία;
...Πως βρίσκουμε την ακτίναενός αστέρα αν γνωρίζουμε τηνφωτεινότητά του και την επιφανειακή τουθερμοκρασία;
Στο συνημμένο μπορεί κανείς να δει πως "αντιμετωπίζουμε" τέτοια ερωτήματα, χρησιμοποιώντας (απλά και μόνο) Μαθηματικά και Φυσική Λυκείου.
Κατεβάζουμε το συνημμένο πατώντας ............................................ΕΔΩ
Το πρόγραμμα Mathemetica είναι ένα από τα πολλά πακέτα συμβολικής Άλγεβρας που κυκλοφορούν στο εμπόριο. Σίγουρα συγκαταλέγεται μέσα στα ισχυρότερα "πακέτα" Με αυτό μπορούμε να κάνουμε πράξεις, να βρούμε παραγώγους και ολοκληρώματα, να αναπτύξουμε σε σειρές, να λύσουμε εξισώσεις, να επιλύσουμε διαφορικές είτε συμβολικά είτε αριθμητικά, να κάνουμε γραμμική Άλγεβρα, να σχεδιάσουμε συναρτήσεις κλπ. Ένα τέτοιο πακέτο το Mathematica 4 ήρθε και στη σχολική βιβλιοθήκη του 9 και 19 Γυμνασίου, το 19 είναι το σχολείο που υπηρετώ, το 1999 (αν θυμάμαι καλά) και απ' ότι είχα ακούσει τότε είχε δοθεί και σε άλλες περίπου 500 βιβλιοθήκες. Αν λοιπόν κάποιος μπορεί να βρει στη βιβλιοθήκη του σχολείου του το συγκεκριμένο πρόγραμμα, πιστεύω ότι αξίζει τον κόπο να διαθέσει κάποιο χρόνο για να το αξιοποιήσει.
Στο σύνδεσμο λοιπόν που ακολουθεί μπορείτε να βρείτε μια μικρή εισαγωγή στις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων. Οι εντολές που περιγράφονται μπορούν να μεταφερθούν με copy paste σε κάποιο φύλλο του Μαthematica και να εκτελεσθούν.
Για να κατεβάσετε την συγκεκριμένη εφαρμογή.....................................ΕΔΩ
Στην εργασία αυτή είδαμε ότι η «προσθετική ιδιότητα» της κινητικής ενεργειας, εμφανίζεται σωστή στα ορθογώνια (ακόμη και καμπυλόγραμμα) συστήματα συντεταγμένων. Αποδεικνύεται «εσφαλμένη» σε μη-ορθογώνια συστήματα αναφοράς (εκεί δηλαδή που οι συντεταγμένες «μπλέκονται» μεταξύ τους), όπως πχ στους πλάγιους άξονες στο επίπεδο, που μελετήσαμε.
Ο λόγος είναι ότι η κινητική ενέργεια είναι μεν βαθμωτό μέγεθος, εξαρτάται όμως από το τετράγωνο της ταχύτητας, (το εσωτερικό γινόμενο δηλαδή της ταχύτητας επί τον εαυτό της). Έτσι στα μη ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων, ενώ παραμένει αναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς συστημάτων αναφοράς ( όπως οφείλει σαν βαθμωτό –scalar- μέγεθος), «χάνει» την «προσθετική» της ιδιότητα. Εμφανίζονται επί πλέον προσθετέοι που οφείλονται στη «μίξη» των συντεταγμένων, που όπως θέλω να ελπίζω, φάνηκε στην εργασία.
Στην εργασία γίνεται χρήση (λίγων και απλών) στοιχείων τανυστικού λογισμού. Για την ακρίβεια χρειαζόμαστε μόνο την έννοια της μετρικής και του εσωτερικού γινομένου, όπως αυτό γενικεύεται σε μη - ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων. Τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία παρουσιάζονται (θέλω να πιστεύω με κατανοητό τρόπο) στην εργασία.
Τι συμβαίνει όταν ένα σώμα πέφτει μέσα σε μια μαύρη τρύπα; Εξαφανίζεται ισχυρίσθηκε πριν από τρεις δεκαετίες, ο νεαρός -τότε- Άγγλος Φυσικός Stephen Hawking. Και η πληροφορία που περιείχε το σώμα, εξαφανίζεται και αυτή; Οπότε κάτι τέτοιο θα σήμαινε ότι παραβιάζεται μια από τις βασικές αρχές διατήρησης της Φυσικής, η αρχή διατήρησης της πληροφορίας. Και βέβαια αν η πληροφορία έμενε για πάντα "θαμμένη" μέσα στη μαύρη τρύπα, το πράγμα δεν θα ήταν και τόσο ενοχλητικό. Όμως, όπως ο ίδιος ο Hawking απέδειξε, οι μαύρες μπορούν και "εξατμίζονται" και έτσι η εξαφάνιση μιας μαύρης τρύπας θα σήμαινε και εξαφάνιση της πληροφορίας, κάτι που δημιουργεί τριγμούς στα θεμέλια της Φυσικής (όπως παρατήρησαν ο Leonard Susskind και o Gerard 't Hooft).....
Για τη συνέχεια διαβάστε :
Σχετικό άρθρο του Βήματος, πατώντας...................................................ΕΔΩ2
Μια αφήγηση που καθηλώνει: το ιστορικό της διαμάχης μεταξύ των Stephen Hawking, Leonard Susskind και Gerard ’t Hooft σχετικά με την αληθινή φύση των μαύρων τρυπών —με διακύβευμα, μάλιστα, την κατανόησή μας για ολόκληρο το Σύμπαν.
Τι συμβαίνει όταν κάτι πέφτει μέσα σε μια μαύρη τρύπα; Εξαφανίζεται; Πριν από τρεις δεκαετίες, ένας νεαρός άγγλος φυσικός ονόματι Stephen Hawking ισχυρίστηκε ότι συμβαίνει αυτό ακριβώς. Οι περισσότεροι επιστήμονες δεν αντιλήφθηκαν τις επιπτώσεις του ισχυρισμού του, αλλά ο αμερικανός φυσικός Leonard Susskind και ο ολλανδός φυσικός Gerard ’t Hooft συνειδητοποίησαν ότι, αν ο Hawking είχε δίκιο, τότε όλα όσα γνωρίζουμε σχετικά με τους θεμελιώδεις νόμους του Σύμπαντος θα έπρεπε να απορριφθούν. Όλοι, από τον Αϊνστάιν έως τον Feynman, θα είχαν ολοκληρωτικά σφάλει. Δεν κρινόταν μόνο η φήμη τριών από τους μεγαλύτερους επιστήμονες παγκοσμίως, αλλά η ίδια η φυσική.
Ο Πόλεμος της Μαύρης Τρύπας αποτελεί τη συναρπαστική ιστορία των μετέπειτα γεγονότων ——ενός μανιώδους αγώνα για τον προσδιορισμό της αλήθειας, που έμελλε να λήξει με το πλέον συγκλονιστικό συμπέρασμα: ότι τα πάντα στον κόσμο μας (αυτό το βιβλίο, το σπίτι σας, εσείς οι ίδιοι) είναι στην πραγματικότητα ένα ολόγραμμα που προβάλλεται από τα απώτατα πέρατα του χώρου.
Ένα λαμπρό βιβλίο για τη σύγχρονη θεωρητική φυσική, την κβαντική παραδοξότητα και τη φύση των μαύρων τρυπών. Ο Πόλεμοςτης Μαύρης Τρύπας συνιστά ανάγνωσμα που διαφωτίζει και τέρπει.
• «Ο Πόλεμος της Μαύρης Τρύπας επιτυγχάνει σε δύο επίπεδα: ως γοητευτικές αναμνήσεις ενός επιδέξιου αφηγητή και ως ελκυστική εισαγωγή στις άπιαστες αλλά συναρπαστικές ιδέες της σύγχρονης θεωρητικής φυσικής. [...] Πρόκειται στην πραγματικότητα για ιστορία με δύο πρωταγωνιστές: τον Susskind και τη μαύρη τρύπα. Ευτυχώς, και οι δύο χαρακτήρες είναι τόσο πληθωρικοί, που κρατούν το ενδιαφέρον αμείωτο για πολλά μερόνυχτα».
—John Preskill, Physics World
• «Ο Πόλεμος της Μαύρης Τρύπας χαρτογραφεί μια μακρόχρονη, ωστόσο καλόπιστη διαμάχη. Ο Susskind εξηγεί επιδέξια τις λεπτές αποχρώσεις των φυσικών αρχών πίσω από το επίδικο ζήτημα και παραθέτει ανεκδοτολογικά στοιχεία που δίνουν ζωή στις τεχνικές λεπτομέρειες —και αντιστέκεται στον πειρασμό να επιχαίρει για την αναπότρεπτη συνθηκολόγηση του Hawking. [...]».
—Paul Davies, Nature
• «Ο νους οργιάζει, καθώς δύο γίγαντες της θεωρητικής φυσικής αντιμάχονται σχετικά με έναν όλο και πιο αλλόκοτο κόσμο. [...]».
—George Johnson, The New York Times Book Review
• «...Εδώ, ο Susskind είναι προσγειωμένος, ξένοιαστος και διασκεδαστικός οδηγός στα πλέον συναρπαστικά όρια της θεωρητικής φυσικής. [...] Το νέο βιβλίο του, γεμάτο διασκεδαστικά ανέκδοτα, αφορά τόσο τους ανθρώπους όσο και τις μαύρες τρύπες, ενώ παρουσιάζει έναν ιδιαίτερα ανθρώπινο Hawking».
—Amanda Gefter, The New Scientist
Δείτε ένα video, με τον Leonard Susskind να μιλά, για τον "Πόλεμο της μαύρης τρύπας", την διαμάχη του δηλαδή με τον Hawking........
An easy way to think about the entropy of black holes is to consider that entropy represents the loss of free energy – that is, energy that is available to do work – from a system. Needless to say, anything you throw into a black hole is no longer available to do any work in the wider universe.................
Στις 14 Μαρτίου κάθε χρόνο είναι η γιορτή (μάλλον ονομαστική) του "π". Του πιο διάσημου άρρητου και υπερβατικού αριθμού. Η ημερομηνία 14 Μαρτίου έχει επιλεγεί μιας και σε μορφή: Μήνας/Ημέρα γράφεται 3/14 ή 3,14 και άρα παραπέμπει άμεσα στα 3 πρώτα ψηφία της πολύ σπουδαίας μαθηματικής σταθεράς.
Από την άλλη μεριά η ημέρα "Προσέγγισης"του π γιορτάζεται στις 22 Ιουλίου, δηλαδή 22/7 σε μορφή: Ημέρα/Μήνα,μιας και το κλάσμα 22/7 αποτελεί την πιο κοινή ρητή προσέγγιση για τον αριθμό π
Πατέρας της ξεχωριστής αυτής γιορτής είναι ο Larry Shaw, ο οποίος την καθιέρωσε στα 1989. Ένας από τους πολλούς τρόπους εορτασμού είναι και η κατανάλωση πίτας ( π = pi, πίτα = pie, και τα δύο προφέρονται "πάϊ", είναι δηλαδή ομόηχα.
Το 2015, η ημέρα του π θα δίνει το π με προσέγγιση 5 ψηφίων (3,1415) μιας και τότε η ημερομηνία σε μορφή: Μήνας/Ημέρα/Έτος θα είναι: 3/14/15 ή 3,1415.
Κατά σύμπτωση στις 14 Μαρτίου (1879) γεννήθηκε ο μεγάλος Φυσικός Albert Einstein.
ΔΕΙΤΕ ΔΥΟ ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ "APPLETS" ΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ SCRATCH, ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΟΥ π ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ MONTE CARLO KAI THN ΜΕΘΟΔΟ "ΑΡΧΙΜΗΔΗ" , AΠO TON NIKO ΔΑΠΟΝΤΕ...........ΕΔΩ1
Larry Shaw, the creator of Pi Day, at the Exploratorium http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e1/Prince-of-pi.jpg
Μπορείτε να κατεβάσετε το πρώτο μέρος (θα ακολουθήσουν κι΄άλλα) της Ιστορίας του π, που έχει γραφεί για μαθητές του Γυμνασίου ...........................ΕΔΩ
Το δεύτερο μέρος της Ιστορίας του π ........................ΕΔΩ2
Το τρίτο μέρος της Ιστορίας του π..............................ΕΔΩ3
Το τέταρτο μέρος της Ιστορίας του π..........................ΕΔΩ4
Μια μικρή εργασία για τον Αρχιμήδη.......................ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Pi Day is on March 14 every year. Pi (π) is the most famous irrational and transcendental number. March 14 was chosen since its calendar format is: 3 / 14 or 3.14, and it refers directly to the first 3 digits of this very important mathematical constant. On the other hand, "Pi Approximation Day" is celebrated on July 22, i.e. 22 / 7, and the fraction 22 / 7 is the most common rational approach to express π. The creator of this special celebration is Larry Shaw, who established it in 1989. One of the many ways to celebrate it is by eating pie (p = pi, pie = pie), both pronounced "Pai" therefore they are homophones. In 2015, Pi’s birthday will "reflect" the first 5 digits of π (3.1415) Incidentally, the great physicist Albert Einstein was born on 14 March (1879).
Δηλαδή οι Φυσικοί που θεωρούν ότι έχουν μια (υποψήφια συνεπή) κβαντική θεωρία βαρύτητας (θεωρία των υπερχορδών-superstring theory), δεν συμφωνούν στον αριθμό των διαστάσεων που απαιτούνται αν δηλαδή πρέπει να είναι 10 ή 11; Η αναπάντεχη απάντηση είναι ότι μπορεί να είναι και τα δύο, και 10 και 11. Και αυτό γιατί η έννοια του χωρόχρονου χάνει το νόημά της στην κβαντική θεωρία. Στην γενικότερη έννοια του "κβαντικού χωρόχρονου" (quantum spacetime) η έννοια διάσταση δεν είναι μια καλώς ορισμένη έννοια.
Με τα παραπάνω (περίπου) λόγια ξεκινάει το σχετικό άρθρο του ο καθηγητής (Ινστιτούτο Προχωρημένων σπουδών -Princeton) Juan Maldacena.
Μπορείτε να διαβάσετε το άρθρο (εκλαϊκευμένο μεν, στα Αγγλικά δε) πατώντας .........ΕΔΩ
Who's Counting? Is it 10 or 11?
"Yes, it looks strange. The physicists that claim to have a beautiful and consistent theory of quantum gravity cannot agree on the number of dimensions!. The surprising answer is that it can be both, 10 and 11! " (Prof. Juan Maldacena-Institute for Advanced Study)
Click...................................................................................................HERE
Μήπως δεν υπάρχει μόνον ένα αλλά πολλά σύμπαντα; Κι΄αν ναι πόσα μπορεί να είναι αυτά; Και είναι αυτά "απομονωμένα" ή μπορούν να αλληλεπιδρούν και να επικοινωνούν μεταξύ τους; Ισχύουν σ΄όλα αυτά τα σύμπαντα οι ίδιοι φυσικοί νόμοι ή μήπως το καθένα από αυτά διέπεται από τους δικούς του φυσικούς νόμους και έχει τις δικές του φυσικές σταθερές; Και ποιες μπορεί να είναι οι φιλοσοφικές προεκτάσεις της θεωρίας του πολυσύμπαντος;
Αποτελούν ο χώρος και ο χρόνος που ζούμε ένα τετραδιάστατο χωρόχρονο, ή μήπως ζούμε (χωρίς να το αντιλαμβανόμαστε) σε 10 ή 11 διαστάσεις; Μπορεί να δοθεί απάντηση στο ερώτημα από τα πειράματα που διεξάγονται στο CERN; Είναι τελικά η φύση "Υπερσυμμετρική"; Και τι θα σήμαινε για τη φυσική μια ενδεχόμενη αποτυχία στην πειραματική επιβεβαίωση της υπερσυμμετρίας;
Για μια απάντηση στα παραπάνω ερωτήματα διαβάστε για την ομιλία του καθηγητήΔ. Νανόπουλουστη Στέγη Γραμμάτων και Τεχνών, όπως αναγράφεται στο site tvxs, πατώντας ..........................................................................................ΕΔΩ
Μπορείτε επίσης να δείτε ένα εκλαϊκευμένο video για τις 10 διαστάσεις:
Το video, είναι του Rob Brynton με Ελληνικούς υπότιτλους από τον Χρήστο Γεωργίου.
Για να εμφανισθούν οι Ελληνικοί υπότιτλοι πατήστε πρώτα το play και μετά το CC (δείτε την παρακάτω φωτογραφία)
Θέλετε να μάθετε ποια είναι τα βασικά πειράματα στον μεγάλο επιταχυντή αδρονίων LHC (Large Hadron Collider), του Ευρωπαϊκού Οργανισμού Πυρηνικών Ερευνών (CERN) στη Γενεύη στα Γαλλο-Ελβετικά σύνορα; Τι είναι το μποζόνιο Higgs (Higgs boson) και πως σχετίζεται με το πρόβλημα της μάζας στο λεγόμενο Καθιερωμένο Πρότυπο (Standard Model); Τι είναι οι επί πλέον "συμπαγοποιημένες" διαστάσεις; Τι είναι η επανακανονικο- ποίηση (renormalization) στις λεγόμενες θεωρίες βαθμίδας(gauge theories); Τι είναι η σκοτεινή ύλη (dark matter) και τι η σκοτεινή ενέργεια (dark energy); Τι είναι η Υπερσυμμετρία (Supersymmetry or SUSY) και ποια θεωρητικά προβλήματα επιλύει;
Αν ΝΑΙ, τότε δεν έχετε παρά να διαβάσετε (ή καλύτερα να μελετήσετε) το ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ άρθρο του Ιωάννη Π. Ζώη ( Μαθηματικός Φυσικός (M.Sc Cantab, D.Phil Oxon) CERN (Theory Division))
στην ιστοσελίδα www.antifono.gr. Για να κατευθυνθείτε απ' ευθείας στο άρθρο, πατήστε.......ΕΔΩ
Οι περισσότεροι μαθητές στο Γυμνάσιο είναι παρατηρημένο ότι δεν κατανοούν πλήρως τις δυνάμεις του 10. Αυτό φαίνεται αν πχ τους ρωτήσει κανείς πόσο είναι το μισό του 1010 οι περισσότεροι απαντούν ότι είναι το ...105 . Στην παρουσίαση που παραπέμπει ο παρακάτω σύνδεσμος μπορείτε να “περιηγηθείτε” στις δυνάμεις του 10. Δεν ξέρω αν και κατά πόσο μπορεί να βοηθήσει στην κατανόηση των δυνάμεων του 10, σε κάθε περίπτωση όμως είναι εντυπωσιακή.
Για μια περιήγηση στις δυνάμεις του 10 ..........................................ΕΔΩ.
Και ένα video με τις δυνάμεις του 10 από το You Τube (Ελληνικοί υπότιτλοι):
Μια όμορφη διαδραστική παρουσίαση, των διαφόρων "μεγεθών" του Σύμπαντος
POWERS OF TEN
Most students in high school do not fully understand the powers of 10. If you ask them how much is half the 1010 most of them answer ... 105. In the following presentation, referred to the link below, you can “browse” the forces of 10. I do not know whether and how it can help in understanding the forces of 10, in any case it is striking. For a tour of the powers of 10........................................................... HERE .
From CERN.......................................................................................HERE 2
Also see the video From Υou Τube (Without Greek subtitles):
Η τοπολογία (τόπος+ λόγος=μελέτη) αποτελεί ένα μεγάλο και σπουδαίο κλάδο των μαθηματικών που ασχολείται με τις «χωρικές» ιδιότητες των αντικειμένων, οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από συνεχείς παραμορφώσεις (συνεχείς μετασχηματισμούς), όπως για παράδειγμα παραμορφώσεις που αφορούν το τέντωμα ή τη συστροφή μιας επιφάνειας, χωρίς να επιτρέπεται το σχίσιμο ή η συγκόλληση ή το γέμισμα (κλείσιμο) οπών.
Για την ανάπτυξή της η τοπολογία απαιτεί έννοιες από τη θεωρία των συνόλων και από τη γεωμετρία, έννοιες όπως πχ αυτή του χώρου, της διάστασης και του μετασχηματισμού. Μπορούμε να πούμε επίσης ότι η τοπολογία είναι η μελέτη των συνόλων, στα οποία μπορεί να ορισθεί μια έννοια «κλειστότητας» έτσι ώστε να διακρίνεται η συνέχεια για οιαδήποτε συνάρτηση που ορίζεται σ’ αυτά. Θεμελιώδεις έννοιες όπως: σύγκλιση, όριο, συνέχεια, συνεκτικότητα, συμπάγεια, συναντούν στην τοπολογία την καλύτερη μορφοποίησή τους.
Προάγγελος της τοπολογίας θεωρείται το άρθρο του διάσημου Ελβετού μαθηματικού LeonardEulerστα 1736 με τον τίτλο: « SevenbridgesofKonigsberg», στο οποίο ο Euler απέδειξε ότι είναι αδύνατο να βρει κανείς μια διαδρομή στην πόλη του Konigsberg(σημερινό Kaliningrad) που να περνάει ακριβώς μια και μόνο φορά από κάθε μια απ’ τις επτά γέφυρες.
ΟHarold Calvin Marston Morse (1892-1977) , είναι ένας σπουδαίος Αμερικανός μαθηματικός, κυρίως γνωστός για την θεωρία που φέρει τ ’όνομά του, «Θεωρία του Morse», στη διαφορική τοπολογία. Το 1933 τιμήθηκε με το βραβείο “Boher Memorial” για τη δουλειά του στη μαθηματική ανάλυση.
Δείτε μια μικρή παρουσίαση σε Pdf (από Powerpoint) μερικων βασικών εννοιών της τοπολογίας και της θεωρίας του Morse .........................................................ΕΔΩ
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Edward_Witten.jpg/340px-Edward_Witten.jpg
