Ελατήριο ανάμεσα σε δύο μάζες. "Ανηγμένη" μάζα.

         Στο παρακάτω σχήμα, στα άκρα Α και Β ελατηρίου με σταθερά k, είναι στερεωμένα δύο σώματα με μάζες m₁ και m₂ , αντίστοιχα. Το ελατήριο θεωρείται χωρίς μάζα ενώ το σύστημα μάζες-ελατήριο μπορεί να ταλαντώνεται ελεύθερα (χωρίς τριβές) στο λείο οριζόντιο επίπεδο, στο οποίο στηρίζεται.  Αρχικά τεντώνουμε το ελατήριο και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο. Να περιγραφεί η ταλάντωση του συστήματος.

 

ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ ΔΥΟ ΜΑΖΕΣ. ΑΝΗΓΜΕΝΗ ΜΑΖΑ

Προσωπική σελίδα Θανάση Γεράγγελου

          Μία ιστοσελίδα που πραγματικά αξίζει τον κόπο να επισκεφθεί κανείς είναι αυτή του καλού συνάδελφου και φίλου από τα φοιτητικά ήδη χρόνια στα τέλη της δεκαετίας του '70 και στις αρχές αυτής του '80, Θανάση Γεράγγελου. Για πολλούς συνάδελφους στο Περιστέρι ο Θανάσης είναι γνωστός ως ο "Δάσκαλος". Και αυτό δεν είναι τυχαίο. Υπήρξε ήδη πολύ καλός δάσκαλος-καθοδηγητής  για πολλούς από εμάς όταν ήμασταν φοιτητές, όντας λίγο μεγαλύτερος και όντας πάντοτε πρόθυμος να προσφέρει τις γνώσεις του. Αργότερα υπήρξε και επιμορφωτής για αρκετούς από εμάς στις νέες τεχνολογίες και ειδικότερα στα λογισμικά Modellus και Interactive Physics. Ο Θανάσης τον τελευταίο καιρό ασχολείται με προσομοιώσεις EJS (Easy Java Simulations), με εξαιρετική, όπως εύκολα μπορεί να διαπιστώσει κανείς βλέποντας τη δουλειά του, επιτυχία...

Προσωπική σελίδα Θανάση Γεράγγελου

Προσομοιώσεις Φυσικής

Ηλεκτρομαγνητική θεωρία στις n+1 διαστάσεις. Νόμος του Gauss.

        Θεωρούμε ηλεκτρομαγνητική θεωρία σε n+1διαστάσεις (n χωρικές και 1 χρονική), η οποία περιγράφεται από τη Λαγκρανζιανή:

                                                                             

Θα επιχειρήσουμε να βρούμε τον αντίστοιχο νόμο του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο και να υπολογίσουμε το ηλεκτροστατικό δυναμικό ενός σημειακού ηλεκτρικού φορτίου σε η χωρικές διαστάσεις.

       Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι αν τα ηλεκτρόνια κινούνται σε δυναμικό:

                   

Στις η-χωρικές διαστάσεις, για να σχηματισθούν σταθερά άτομα πρέπει να είναι: n=3. Δηλαδή μόνον σε 3 χωρικές διαστάσεις μπορούν να υπάρξουν σταθερά άτομα (και κατά συνέπεια Χημεία, Βιολογία, και τελικά...εμείς)....

Carl Friedrich Gauss

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ n ΧΩΡΙΚΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

(Ευχαριστώ πολύ το συνάδελφο Σινάνη Χρήστο για τις συζητήσεις που είχαμε πάνω στο συγκεκριμένο θέμα)

Υπερσυμμετρικές μέθοδοι σε προβλήματα Κβαντικής Μηχανικής (I)

             Στο πρώτο μέρος της εργασίας, με τίτλο Υπερσυμμετρικές μέθοδοι σε προβλήματα Κβαντικής Μηχανικής (I),  που μπορείτε να βρείτε στον σύνδεσμο που ακολουθεί,  θα δούμε  μια πολύ συνοπτική περιγραφή-επανάληψη της μη σχετικιστικής κβαντομηχανικής σε μία διάσταση (απλός αρμονικός ταλαντωτής με την βοήθεια  των τελεστών ανόδου και καθόδου).  Στη συνέχεια θα δούμε  την έννοια του  υπερδυναμικού  (superpotential) και  τα λεγόμενα δυναμικά  συνοδείας,  που μας εισάγουν στις έννοιες  και τις μεθόδους της υπερσυμμετρικής  κβαντομηχανικής.

             Θα αναφερθούμε   στην έννοια   της  «σπασμένης  ή  –μη--  υπερσυμμετρίας»  (broken or unbroken supersymmetry)  και  στον δείκτη του  Witten  μέσω   του οποίου προσδιορίζουμε αν έχουμε περίπτωση σπασμένης  ή  μη υπερσυμμετρίας. Θα ορίσουμε την  «υπερσυμμετρική Χαμιλτονιανή»  και  τους  τελεστές υπερφορτίου  και  πως εφαρμόζονται  ειδικότερα   στην  περίπτωση  του  αρμονικού  ταλαντωτή.  Θα δούμε τον τρόπο με  τον οποίο «κατασκευάζουμε» μια  «ιεραρχία»  Χαμιλτονιανών, και πως  "αντιμετωπίζουμε"  το πρόβλημα της σκέδασης με τη βοήθεια της  υπερσυμμετρίας.  

(Η ανάρτηση αυτή αφιερώνεται στο Δημήτρη Μυρογιάννη).

Υπερσυμμετρικές μέθοδοι σε προβλήματα Κβαντικής Μηχανικής (I)

         

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

         

     Ένα μεγάλο ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ στο συνάδελφο και φίλο Δημήτρη Μυρογιάννη, ο οποίος βοήθησε στο να "ελαφρύνει" σημαντικά το ιστολόγιο γράφοντας τον κώδικα για την δυνατότητα ενεργοποίησης ή μη (κατόπιν επιλογής) κάποιων gadgets.

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

              Στα επόμενα θα προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση του κύματος (1) σε n+1 διαστάσεις:

                                                                                          

για σφαιρικά συμμετρικό κύμα:

                                                                                 

και θα προσπαθήσουμε να δούμε (σε επίπεδο λύσεων), ότι η αρχή του Huygens ισχύει μόνο για περιττές χωρικές διαστάσεις: ν=1,3,5,...

         Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ 

ΤΟ ΣΠΑΣΙΜΟ SU(2) X U(1) ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

                        Sheldon Lee Glashow

 

                                                          Steven Weinberg

                             Abdus Salam

          Στα επόμενα θα δούμε το αυτόματο σπάσιμο της μη Αβελιανής συμμετρίας, που αφορά το «ηλεκτρασθενές» (electroweak) κομμάτι του λεγόμενου Καθιερωμένου Προτύπου (Standard Model)....

  ΤΟ ΣΠΑΣΙΜΟ ΤΗΣ

SU(2)W X U(1)   ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

ΜΙΑ "ΛΥΣΗ" ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ FRIEDMAN

        Τι είναι η Κοσμολογία;
Σύμφωνα με το σχετικό άρθρο της Βικιπαίδειας:
             "Η Κοσμολογία είναι η επιστήμη που εξετάζει το πώς και γιατί γεννήθηκε το σύμπαν, τι υπήρχε πριν από αυτό και την εξέλιξη του μέχρι την κατάληξη του και αν θα υπάρχει τέτοια. Για να φτάσει όμως να γίνει μια καθαρά πειραματική και παρατηρησιακή επιστήμη πέρασε από πολλά στάδια. Ο αρχαίος άνθρωπος δημιούργησε την Κοσμολογική Μυθολογία υφαίνοντας μύθους πίσω από κάθε φαινόμενο της ζωής του, στην προσπάθεια του να απαντήσει στα παραπάνω ερωτήματα. Με την εξέλιξη της φιλοσοφίας η μυθολογική Κοσμολογία άρχισε να εξασθενεί σταδιακά. Οι φιλόσοφοι χώριζαν τον μύθο από τον λόγο σχηματίζοντας τις πρώτες επιστήμες, οι οποίες βοήθησαν στην ανάπτυξη της Φιλοσοφικής Κοσμολογίας. Αυτή η Κοσμολογία μεταλαμπαδεύτηκε στην Ευρώπη και εξελίχθηκε στην σημερινή μορφή της."

                                               http://en.wikipedia.org/wiki/File:WMAP_2010.png



       
          O Alexander Alexandrovich Friedman or Friedmann ήταν σπουδαίος Ρώσος  μαθηματικός και κοσμολόγος.  Στα 1922 ανακάλυψε τη λύση του "διαστελλόμενου σύμπαντος" των εξισώσεων πεδίου της Γενικής θεωρίας της σχετικότητας του Einstein.
       Σήμερα η κλασσική λύση των εξισώσεων πεδίου του Einstein, η οποία περιγράφει ένα ομογενές και ισότροπο σύμπαν ονομάζεται: "Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric", προς τιμήν των Friedmann, Lemaitre, Robertson και Walker που εργάσθηκαν σ΄αυτό το πεδίο στις δεκαετίες του 20 και του 30.

 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/End_of_universe.jpg/360px-End_of_universe.jpg

            http://nothingnerdy.wikispaces.com/file/view/flat_closed_open_universe.jpg/208353856/flat_closed_open_universe.jpg

Μια μικρή εργασία για την εξέλιξη του Σύμπαντος, 

με βάσει τις εξισώσεις FRIEDMAN.......................ΕΔΩ

ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:

Τα πρώτα Τρία Λεπτά, Steven Weinberg, σε μετάφραση Γιάννη Πιπίνη, Εκδόσεις Ειρμός, Αθήνα 1991.


Νεώτερη έκδοση: Εκδόσεις Octavision; 1st edition (2006)

Τα τελευταία Τρία Λεπτά, Paul Davies, μετάφραση Β. Κωνσταντούδης, Γ. Κυριακόπουλος, Α. Μάμαλης, Εκδόσεις Κάτοπτρο, Αθήνα 1996

Η απαρχή του Σύμπαντος, John D. Barrow, μετάφραση Θεοφάνης Γραμμένος, Εκδόσεις Κάτοπτρο, Αθήνα 1995

The First Three Minutes, Steven Weinberg, Flamingo 1987

http://www.particleadventure.org/images/history-universe-08.jpg

              History of the Universe Made Easy (Part 1)   

             History of the Universe Made Easy (Part 2)   

Ιστορία του Διανυσματικού Δυναμικού

      Στο παρακάτω video, ο διάσημος Νομπελίστας φυσικός Chen Ning Yang, (Nobel 1957 μαζί με τον Tsung Dao Lee) περιγράφει την "ιστορία" του ανυσματικού δυναμικού:


                                                   History of the Vector Potential

                                  http://www.youtube.com/watch?v=WnsrDFSjcZ0



        Chen-Ning Franklin Yang (simplified Chinese: 杨振宁; traditional Chinese: 楊振寧; pinyin: Yáng Zhènníng) (born October 1, 1922)^[1] is a Chinese-American physicist who works on statistical mechanics and particle physics. He, together with Tsung-dao Lee, received the 1957 Nobel prize in physics for their work on parity nonconservation of weak interaction. Yang naturalized as a United States citizen in 1964.
(WIKIPEDIA)

                     http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1957/yang.jpg



                                                  Tsung Dao LEE and Chen Ning YANG

                              http://lappweb.in2p3.fr/neutrinos/neutimg/nacteurs/leeyang.jpg

Η προσωπική ιστοσελίδα του Chen Ning Yang

Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ Π (ΤΡΙΤΟ ΜΕΡΟΣ)

            

 
             http://www.freakingnews.com/pictures/38500/Pi-Stonehenge--38807.jpg

              Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ.

           Στην Ευκλείδια επιπεδομετρία, το π μπορεί να οριστεί είτε ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, είτε ως ο λόγος του εμβαδού ενός κύκλου προς το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου. Τα εγχειρίδια ανώτερων μαθηματικών ορίζουν το π αναλυτικά χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για παράδειγμα ως το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει ημ(x) = 0, ή ως δύο φορές το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει συν(x) = 0. Όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι ισοδύνα

        Ο Αρχιμήδης καθόρισε την πρώτη επιστημονικά αποδιδεγμένη μέθοδο με την οποία υπολογίζεται ο αριθμός.
 
                                     Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:

                 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

(Άρθρο της Βικιπαίδεια) 

         Ο Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852-1932) ήταν γερμανός μαθηματικός που το 1882 απέδειξε ότι ο π είναι υπερβατικός αριθμός(transcendental number), δηλαδή δεν μπορεί να είναι ρίζα πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές.

 

                                        Ferdinand von Lindemann

 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.jpg/200px-Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.jpg

Μπορείτε μα κατεβάσετε το τρίτο μέρος της ιστορίας του π ....................ΕΔΩ 

Το δεύτερο μέρος................................................................................ΕΔΩ2 

Το πρώτο μέρος...................................................................................ΕΔΩ1