Τα τελευταία χρόνια οι ιδέες της υπερσυμμετρίας (supersymmetry - SUSY) έχουν εφαρμοσθεί με επιτυχία σε πολλά προβλήματα της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής (non-relativistic quantum mechanics). Ειδικότερα βοήθησαν στην κατανόηση της "επιλυσιμότητας" ορισμένων ειδικών δυναμικών καθώς και στην ανάπτυξη νέων και ισχυρών προσεγγιστικών μεθόδων για την μελέτη δυναμικών που δεν επιλύονται με αναλυτικό τρόπο. Στην παρουσίαση αυτή αυτή θα δούμε μερικές από τις μεθόδους της ΥΣΚΜ και θα αναφέρουμε ορισμένες εφαρμογές της. Τα αναλυτικά επιλύσιμα δυναμικά μπορούν να μελετηθούν με τη βοήθεια λίγων βασικών αρχών , όπως τα λεγόμενα υπερσυμμετρικά δυναμικά συνοδείας (supersymmetric partner potentials) , τα δυναμικά αναλλοίωτου σχήματος (shape invariant potentials) και οι μετασχηματισμοί τελεστών. Όλα τα γνωστά επιλύσιμα δυναμικά εμπίπτουν στην κατηγορία των δυναμικών αναλλοίωτου σχήματος.
Ακολούθως θα αναφερθούμε στην έννοια της «σπασμένης ή –μη-- υπερσυμμετρίας» (broken or unbroken supersymmetry) και στον δείκτη του Witten μέσω του οποίου προσδιορίζουμε αν έχουμε περίπτωση σπασμένης ή μη υπερσυμμετρίας. Θα ορίσουμε την «υπερσυμμετρική Χαμιλτονιανή» και τους τελεστές υπερφορτίου και πως εφαρμόζονται ειδικότερα στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή. Θα δούμε τον τρόπο με τον οποίο «κατασκευάζουμε» μια «ιεραρχία» Χαμιλτονιανών, και πως "αντιμετωπίζουμε" το πρόβλημα της σκέδασης με τη βοήθεια της υπερσυμμετρίας.
Μερικά από τα γνωστά δυναμικά που επιλύονται αναλυτικά είναι:
α) το δυναμικό Coulomb
β) το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή
γ) τα δυναμικά: Eckart , Morse , Rosen-Morse , Poschl-Teller.
Ειδικότερα λοιπόν:
Στην αρχή της παρουσίασης της εργασίας θα δούμε μια πολύ συνοπτική περιγραφή-επανάληψη της μη σχετικιστικής κβαντομηχανικής σε μία διάσταση (απλός αρμονικός ταλαντωτής με την βοήθεια των τελεστών ανόδου και καθόδου). Στη συνέχεια θα δούμε την έννοια του υπερδυναμικού (superpotential) και τα λεγόμενα δυναμικά συνοδείας, που μας εισάγουν στις έννοιες και τις μεθόδους της υπερσυμμετρικής κβαντομηχανικής.
Ακολούθως θα αναφερθούμε στην έννοια της «σπασμένης ή –μη-- υπερσυμμετρίας» (broken or unbroken supersymmetry) και στον δείκτη του Witten μέσω του οποίου προσδιορίζουμε αν έχουμε περίπτωση σπασμένης ή μη υπερσυμμετρίας. Θα ορίσουμε την «υπερσυμμετρική Χαμιλτονιανή» και τους τελεστές υπερφορτίου και πως εφαρμόζονται ειδικότερα στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή. Θα δούμε τον τρόπο με τον οποίο «κατασκευάζουμε» μια «ιεραρχία» Χαμιλτονιανών, και πως "αντιμετωπίζουμε" το πρόβλημα της σκέδασης με τη βοήθεια της υπερσυμμετρίας.
Θα παρουσιάσουμε τα λεγόμενα δυναμικά αναλλοίωτου σχήματος (shape invariant potentials , SIPs), με τη βοήθεια των οποίων ανακαλύπτουμε ή κατασκευάζουμε νέα επιλύσιμα δυναμικά. Θα αναφερθούμε στα δυναμικά αναλλοίωτου σχήματος μέσω μεταφοράς καθώς και σ΄αυτά μέσω κλίμακας. Στην πρώτη κατηγορία (μεταφορά) ανήκουν όλα τα «διασημα» δυναμικά της μη σχετικιστικής κβαντομηχανικής ενώ στη δεύτερη κατηγορία (κλίμακα) τα δυναμικά είναι γνωστά (τουλάχιστον μέχρι σήμερα) με τη μορφή σειρών. Θα δούμε την περίπτωση της λεγόμενης «αυτοομοιότητας» (self similarity)και το γεγονός ότι αποτελεί μερική περίπτωση της αναλλοιότητας σχήματος. Θα εξετάσουμε και άλλες περιπτώσεις SIPs , για τα οποία θα δώσουμε τις ιδιοτιμές ενέργειας.
Για να δείτε (ή/και να "κατεβάσετε") την παρουσίαση, πατήστε...................ΕΔΩ
ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
2. Supersymmetry in Quantum and Classical Mechanics, Bijan Kumar Bagchi, Chapman & Hall/Crc, 2001.
3. Supersymmetry in Particle Physics, Ian Aitchison, Cambridge University Press 2007.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου
Σημείωση: Μόνο ένα μέλος αυτού του ιστολογίου μπορεί να αναρτήσει σχόλιο.