Τετάρτη, 3 Αυγούστου 2011

O Λεονάρδος της Πίζας (Leonardo Pisano ή Fibonacci).






O Leonardo Pisano Bigollo (1170-1250 μ.Χ.), γνωστός επίσης και ως Λεονάρδος της Πίζας (Leonardo Pisano) , ή Leonardo Bonacci, ή Leonardo Fibonacci, ή απλούστερα Fibonacci, ήταν ένας Ιταλός μαθηματικός που από πολλούς θεωρείται ως ο πιο προικισμένος μαθηματικός της Δύσης, κατά τον Μεσαίωνα. Έμεινε στην ιστορία για την εισαγωγή στην Ευρώπη του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης και άλλων σπουδαίων καινοτομιών (ιδιαίτερα σε μια τόσο σκοτεινή εποχή για την Ευρώπη), αλλά κυρίως για την περίφημη ακολουθία του, την ακολουθία Fibonacci. [1]

Ήταν γιος του Ιταλού διπλωμάτη Γκιγιέρμο Μπονάτσι (Bonacci σημαίνει απλός), γι' αυτό και το πατρώνυμό του είναι το Φιμπονάτσι, δηλαδή γιος του Μπονάτσι (φίλιους Μπονάτσι). Ο ίδιος χρησιμοποιούσε και το όνομα Μπίγκολο, που σημαίνει “πολύ για το τίποτα” ή ταξιδιώτης. Το 1202 σε ηλικία 32 ετών συνέγραψε το έργο Liber Abacci (βιβλίο των υπολογισμών), με το οποίο συνέβαλε στην καθιέρωση των αραβικών αριθμών στην Ευρώπη και παρουσίασε ένα “νέο” πρόβλημα από το οποίο οδηγήθηκε στην περίφημη ακολουθία για την οποία είναι γνωστός. Στο έργο του αυτό αποδείκνυε την “πρακτικότητα” του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης στην τήρηση εμπορικών και λογιστικών βιβλίων, στις διάφορες χρηματικές συναλλαγές, στις μετατροπές μέτρων και σταθμών, στον υπολογισμό τόκων κλπ. Το βιβλίο αυτό αν και επηρρέασε θετικά τους λόγιους της Ευρώπης δεν έκανε γνωστό στο ευρύ κοινό το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, τουλάχιστον μέχρι την εφεύρεση της τυπογραφίας. [1]

 

Σε ότι αφορά το π, ο Fibonacci χρησιμοποίησε ένα κανονικό 96-γωνο, κατ΄αναλογία προς τον Αρχιμήδη, όπου όμως μπορούσε να υπολογίζει ευκολότερα τις τετραγωνικές ρίζες (με το νέο σύστημα αρίθμησης, δηλαδή το δεκαδικό). Στο έργο του Practica Geometriae που εξέδωσε το 1220, παρ΄ότι δεν ήταν το ίδιο “αυστηρός” με τον Αρχιμήδη στους υπολογισμούς, βρήκε πιο ακριβή αποτελεσματα από αυτά του μεγάλου Έλληνα σοφού. Πιο συγκεκριμμένα, βρήκε για το π την τιμή:

                               1440/(458+4/9) < π < 1440/(458+1/5),

με μέση τιμή για το π:

                                              π = 864/275 = 3,141818,

δηλαδή τιμή που έχει σωστά τρία δεκαδικά ψηφία και που είναι μόλις κατά 0,0001 ακριβέστερη από την τιμή του Αρχιμήδη. [2]


Το έργο (Practica Geometriae), ήταν αφιερωμένο στον Dominicus Hispanus. Περιείχε ένα πλήθος γεωμετρικών προβλημάτων, ταξινομημένων σε 8 κεφάλαια , με θεωρήματα, που ήταν κυρίως βασισμένα στα στοιχεία του Ευκλείδη και (πιθανόν) στην αραβική εκδοχή της “διαίρεσης σχημάτων” του Ευκείδη, που έχει χαθεί. [1]


Η ακολουθία Fibonacci.

Στο τρίτο μέρος του liber abaci εμφανίζεται το εξής πρόβλημα:

Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι το μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο απο το αρχικό ζεύγος;

Το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... (ο Φιμπονάτσι παρέλειψε τον πρώτο όρο στο Liber abaci). Εδώ λοιπόν κάθε νέος όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων όρων. Η ακολουθία έχει αποδειχθεί εξαιρετικά χρήσιμη στην Επιστήμη. Το The Fibonacci Quarterly είναι ένα περιοδικό που είναι αφοσιωμένο στη μελέτη των μαθηματικών των σχετικών με την ακολουθία.

Επίσης αξίζει να σημειωθεί πως ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας όσο οι αριθμοί μεγαλώνουν προσεγγίζει όλο και περισσότερο τον γνωστό "χρυσό λόγο" που είναι ίσος με τον άρρητο αριθμό φ=1,61803...(φ προς τιμήν του Έλληνα γλύπτη Φειδία). Όπως παρατηρείτε: 2/1=2 , 3/2=1.5 , 5/3=1,666... , 8/5=1.6 , 13/8=1.625 , 21/13=1.615... , ... , 10946/6765=1,61803... , ... [1]




       http://64.19.142.12/forexelite.net/images/fibonacci-spiral-seashell.jpg


Προγραμματάκι στο Excel  που μας δίνει τους αριθμούς
Fibonacci:


  1. Στο κελί A1, ενός φύλλου του Excel, πληκτρολογούμε το 0 και πατάμε το Enter.
  2. Στο κελί Α2 πληκτρολογούμε το 1 και πατάμε το Enter.
  3. Στο κελί Α3, γράφουμε τον τύπο: =Α12  και πατάμε το Enter.
  4. Κάνουμε κλικ πάνω στο κελί Α3.
  5. Τοποθετούμε το ποντίκι στην κάτω δεξιά γωνία του κελιού Α3
  6. Κρατώντας πατημένο το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού το σύρουμε προς τα κάτω (Α456... κλπ).
  7. Παίρνουμε έτσι τους διαδοχικούς όρους της ακολουθίας Fibonacci. (Έτσι για παράδειγμα στο Α13 πρέπει να εμφανίζεται το 144, στο Α30 το 514229 κλπ)

 

 Ένα πολύ ενδιαφέρον αρχείο Excel:     Fibonacci

 

                        Fibonacci and the Golden Mean 

 

                                   



 Δείτε επίσης:

Η ακολουθία Fibonacci στη φύση

Fibonacci Numbers in Nature & the Golden Ratio

                                         
  


                                            Βιβλιογραφία - Αναφορές


    1.  O Λεονάρδος της Πίζας
  
  2. Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf

 

2 σχόλια:

  1. Πολύ ενδιαφέρον όπως πάντα Γιάννη. Μπράβο

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Τίνα σ΄ευχαριστώ πολύ τόσο για τα καλά σου λόγια όσο και για τις υπέροχες αναρτήσεις που μας χαρίζεις. Να είσαι καλά!

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...