... Χρησιμοποιώντας την κατανομή Maxwell-Boltzmann, μπορούμε να υπολογίσουμε ένα αριθμό ποσοτήτων που είναι σπουδαίες για τη μοριακή φυσική. Για παράδειγμα, η μέση ταχύτητα των μορίων, η ενεργός ταχύτητα και η πιθανότερη ταχύτητα. Ξεκινάμε με τον υπολογισμό της μέσης ταχύτητας των μορίων...
Στη Γ’ Λυκείου στη γενική παιδεία, διδάσκοντας τις συνθήκες του Βorh λέμε στους μαθητές μας ότι αν ένα φωτόνιο έχει ενέργεια που αντιστοιχεί σε κάποιο επιτρεπτό ενεργειακό άλμα του ατόμου, τότε απορροφάται από το ηλεκτρόνιο του ατόμου. Αν όχι τότε περνάει από το υλικό χωρίς αλληλεπίδραση. Έτσι δημιουργούνται τα φάσματα απορρόφησης των αερίων, αφού βορβαδίζοντας τα άτομα με λευκή ακτινοβολία ( δηλαδή με όλες τις ορατές συχνότητες ) θα απορροφηθούν μόνο αυτές που αντιστοιχούν σε επιτρεπτά ενεργειακά άλματα. Εδώ ακριβώς αρχίζουν να γεννούνται ορισμένες απορίες.
1η απορία.
Ως γνωστό όταν ένα ηλεκτρόνιο βρεθεί σε μια διεγερμένη στάθμη, πολύ γρήγορα θα πέσει από αυτήν εκπέμποντας πάλι φωτόνια. γιατί τότε δημιουργούνται σκοτεινές γραμμές στο φάσμα απορρόφησης αφού τα φωτόνια επανεκπέπονται;
2η απορία.
Γιατί για τις υπόλοιπες συχνότητες που δεν έχουμε αλληλεπίδραση, έχουμε καθυστέρηση στην ταχύτητα διάδοσης του φωτός από το μέσο; Με άλλα λόγια πως εξηγείται κβαντικά ο δείκτης διάθλασης των διαφανών σωμάτων;
3η απορία.
Γιατί ο δείκτης διάθλασης των περισσοτέρων διαφανών υλικών κυμαίνεται στην περιοχή 1-2
4η απορία.
Γιατί ο δείκτης διάθλασης στις υψηλές συχνότητες είναι μεγαλύτερος;
Σκοπός αυτού του άρθρου είναι να λύσει μέσα στα πλαίσια της φυσικής του λυκείου αυτές τις απορίες....
(Από την εισαγωγή της εργασίας του Πάνου Μουρούζη).
Μπορείτε να κατεβάσετε την εργασία, πηγαίνοντας στη σελίδα:
Οι κοσμικές ακτίνες ή κοσμική ακτινοβολία είναι μία κατηγορία ακτινοβολίας που αποτελείται από σωματίδια υψηλών ενεργειών τα οποία παράγονται σε κάποιο μέρος του Σύμπαντος μακριά από τη Γη και προσκρούουν στην ατμόσφαιρα της Γης με ανιχνεύσιμα αποτελέσματα.
Οι κοσμικές ακτίνες αποτελούνται κυρίως από ατομικούς πυρήνες, δηλαδή θετικά φορτισμένα ηλεκτρικώς σωματίδια, περίπου 87% πρωτόνια, 12% σωμάτια άλφα (πυρήνες ηλίου) και λίγους βαρύτερους πυρήνες (οι σχετικές περιεκτικότητες είναι συγκρίσιμες με τις ηλιακές). Ωστόσο, ένα μικρό ποσοστό των κοσμικών ακτίνων είναι ακτίνες γ (φωτόνια) πολύ υψηλών ενεργειών, ηλεκτρόνια και νετρίνα.
Οι κινητικές ενέργειες των σωματίων των κοσμικών ακτίνων εκτείνονται σε 14 τάξεις μεγέθους, με τη ροή (αριθμός σωματίων ανά μονάδα επιφάνειας και χρόνου) στην περιοχή της Γης να είναι αντιστρόφως ανάλογη του κύβου της ενέργειάς τους. Η μεγάλη αυτή διαφορά στις ενέργειες υποδεικνύει τη μεγάλη ποικιλία των πηγών της κοσμικής ακτινοβολίας: Οι διαδικασίες παραγωγής εκτείνονται από αστρικά φαινόμενα μέχρι μυστηριώδεις διαδικασίες υψηλών ενεργειών στα βάθη του Σύμπαντος. Μία κοσμική ακτίνα (1 σωμάτιο) μπορεί να φθάσει σε ενέργεια τα1020eV (περίπου 50 Joules, η ενέργεια μιας μπάλας του τένις που κινείται με 151 km/h). Καμιά μηχανή (επιταχυντής) κατασκευασμένη από τον άνθρωπο στη Γη προς το παρόν δεν μπορεί να επιταχύνει κάποιο σωμάτιο σε τόσο υψηλές ενέργειες.
Η κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου
(Από τη Βικιπαίδεια}
Στην πρώτη εικόνα βλέπουμε την σχηματοποιημένη καταγραφή δεδομένων από τον δορυφόρο WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) της NASA, ο οποίος μετρά προς διάφορες κατευθύνσεις την θερμοκρασία της θερμικής ακτινοβολίας που απελευθερώθηκε κατά την διάρκεια της μεγάλης έκρηξης που δημιούργησε το σύμπαν - γνωστής και ως κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου. Σκοπός του WMAP είναι να ανιχνεύσει μικροσκοπικές διαφορές στην ακτινοβολία υποβάθρου ούτως ώστε να μπορούν να ελεγχθούν τα διάφορα μοντέλα που περιγράφουν την εξέλιξη του σύμπαντος. Αν και η ακτινοβολία αυτή είναι διάχυτη και δεν αφορά (πλέον) κανένα συγκεκριμένο σώμα, το φάσμα της παρουσιάζει εκπληκτική συμφωνία με τον νόμο της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος. Πρόκειται για την πιο τέλεια προσέγγιση που έχει καταγραφεί ποτέ.
1. Χαρτογράφηση της ανισσοτροπίας της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου από το δορυφόρο WMAP.
Η δεύτερη εικόνα προέρχεται από προηγούμενη αποστολή με παρόμοιο σκοπό, από τον δορυφόρο COBE (Cosmic Background Explorer). Είναι γραφική παράσταση της έντασης της ακτινοβολίας ως προς των αριθμό των κυμάτων ανά εκατοστό. Η συμφωνία των πειραματικών μετρήσεων με την θεωρεία είναι τέτοια ώστε τα 34 σημεία που τοποθετήθηκαν για να σχηματίσουν την καμπύλη καλύφθηκαν ακριβώς από την καμπύλη που προβλέπει η θεωρεία, και τα διαστήματα λάθους ήταν τόσο μικρά που δεν ξεπερνούν το πάχος της γραμμής. Τα δεδομένα δείχνουν ότι το 99,97% της ακτινοβολίας υποβάθρου απελευθερώθηκε μέσα στον πρώτο χρόνο από την στιγμή της μεγάλης έκρηξης, και αντιστοιχούν στο φάσμα μελανού σώματος θερμοκρασίας 2,7°K.
2. Καμπύλη κατασκευασμένη με βάση τα δεδομένα από το φασματοσκόπιο FIRAS του δορυφόρου COBE.
Στην εργασία που ακολουθεί, υπάρχει ένας υπολογισμός της "μέγιστης" ενέργειας των πρωτονίων των κοσμικών ακτίνων που καταφθάνουν στη Γη:
Ο Hugh Everett (1930-1982)) ήταν αμερικανός φυσικός, ο οποίος πρώτος (το 1957) πρότεινε την ερμηνεία των "πολλών κόσμων" της κβαντομηχανικής ( many-worlds interpretation (MWI) of quantum physics ). Απογοητευμένος από την περιφρόνηση των υπόλοιπων φυσικών για το έργο του, "τέλειωσε" την καριέρα του στη Φυσική αμέσως μετά την ολοκλήρωση της διδακτορικής του διατριβής.
Σύμφωνα με την Κβαντική Θεωρία, και ειδικότερα σύμφωνα με την εικόνα του Schrodinger, κάθε σύστημα περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση η οποία είναι συνάρτηση της θέσης των σωματιδίων του συστήματος και του χρόνου. Το τετράγωνο αυτής της συνάρτησης εκφράζει την πιθανότητα να βρεθεί το σύστημά μας στις συγκεκριμένες θέσεις την συγκεκριμένη χρονική στιγμή.
Η εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης αυτής με το χρόνο -η οποία περιγράφεται από μια Διαφορική Εξίσωση, την εξίσωση Schrodinger, είναι ομαλή και συνεχής. Μια τέτοια εξέλιξη στα μαθηματικά λέγεται μοναδιστική (unitary) και έχει πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες.
Μια από τις σημαντικότερες ιδιότητες της εξίσωσης του Schrodinger και της κυματοσυνάρτησης είναι ότι κάθε επαλληλία διαφορετικών συναρτήσεων που αποτελούν λύσεις της εξίσωσης Schrodinger για ένα συγκεκριμένο σύστημα, θα είναι επίσης λύση που θα παριστάνει την εξέλιξη του συστήματος.
Με άλλα λόγια ένα Κβαντικό Σύστημα που μπορεί να βρίσκεται ξεχωριστά σε δύο διαφορετικές καταστάσεις, μπορεί να βρίσκεται και σε ένα γραμμικό συνδυασμό αυτών των καταστάσεων. Αυτή είναι η κβαντική υπέρθεση των καταστάσεων.
Και μάλιστα, αν αρχικά το σύστημα αυτό βρίσκεται σε μια τέτοια υπέρθεση, ο μοναδιαίος τρόπος της εξέλιξής του υπαγορεύει ότι αν δεν μεσολαβήσει κάποια αλληλεπίδραση του συστήματος με το περιβάλλον, το σύστημα θα εξακολουθήσει να βρίσκεται σε αυτή την υπέρθεση, αιώνια.
Ας εξετάσουμε ένα νοητό παράδειγμα που εμφανίζονται τα παραπάνω:
Το Παράδειγμα Τραπουλόχαρτου:
Σύμφωνα με την Κβαντική Θεωρία, ένα τραπουλόχαρτο που ισορροπεί στην κόψη του βρίσκεται σε μια υπέρθεση δύο καταστάσεων.
Η μία κατάσταση είναι αυτή που εμφανίζει την εμπρόσθια όψη του (δηλ. την φιγούρα)και
Η έτερη κατάσταση είναι αυτή που εμφανίζει την οπίσθια όψη του.
Σύμφωνα πάλι με την Κβαντική Θεωρία, όταν το τραπουλόχαρτο πέσει, ο μοναδιστικός τρόπος εξέλιξης της κυματοσυνάρτησης θεωρεί ότι θα πέσει και με τις δύο όψεις συγχρόνως αφού η υπέρθεση πρέπει να διατηρείται.
Η Παρατήρηση όμως του τραπουλόχαρτου από ένα παρατηρητή, "πυροδοτεί" μια απότομη μεταβολή στην κυματοσυνάρτηση και αυτή "καταρρέει" σε μια εκ των δύο καταστάσεων που την αποτελούν.
Ο παρατηρητής βλέπει λοιπόν μια εκ των δύο κλασσικών καταστάσεων (η φιγούρα στην επάνω όψη ή η φιγούρα στην κάτω όψη) και από κει και ύστερα η κλασσική αυτή κατάσταση επιζεί.
Υποτίθεται ότι η Φύση κατά τελείως τυχαίο τρόπο αποφάσισε σε ποια εκ των δύο κλασικών καταστάσεων θα καταρρεύσει. Οι πιθανότητες γι αυτό καθορίζονται από τους συντελεστές των δύο καταστάσεων όταν αυτές σχηματίζουν την υπέρθεση.
Αν και η μέθοδος αυτή είναι συμβατή με το Κβαντικό φορμαλιστικό πλαίσιο, εν τούτοις παραμένει ένα μυστήριο το πότε και πως γίνεται η κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης.
Κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης:
Στα μέσα της δεκαετίας του 1950, ένας σπουδαστής στο Princeton, o Hugh Everett αποφάσισε να καταπιαστεί με το θέμα της κατάρρευσης της κυματοσυνάρτησης στη διδακτορική του διατριβή.
Ο Everett προώθησε την ιδέα της Κβαντικής Θεωρίας, στα άκρα, θέτοντας την εξής ερώτηση:
Τι θα συνέβαινε αν η χρονική εξέλιξη ολόκληρου του Σύμπαντος ήταν πάντα μοναδιστική;
Αν τελικά η Κβαντική Θεωρία είναι σωστή και για το Σύμπαν θα πρέπει αυτό να περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση (όσο περίπλοκη κι αν είναι αυτή.)
Στο σενάριο του Everett αυτή η κυματοσυνάρτηση θα εξελίσσεται κατά ντετερμινιστικό τρόπο, αφού δεν υπάρχει τίποτα έξω από το Σύμπαν για να την παρατηρήσει και επομένως να την διαταράξει, και έτσι δεν υπάρχει δυνατότητα για να καταρρεύσει.
Στη θεώρηση του Everett το κβαντικό τραπουλόχαρτο θα βρίσκεται και με τις δύο όψεις του συγχρόνως. Επιπλέον, ένας παρατηρητής που το βλέπει εισάγει επιπλέον μια υπέρθεση δύο διανοητικών καταστάσεων, όπου κάθε μια αντιστοιχεί και σε ένα από τα δύο πιθανά αποτελέσματα της, την διαφορετική εικόνα που αντιλαμβάνεται. Αν είχατε στοιχηματίσει χρήματα ότι θα έλθει η όψη της φιγούρας, θα καταλήγατε σε μια υπέρθεση να χαμογελάτε και να στενοχωρείστε.
Οι παρατηρητές σε ένα τέτοιο παράδοξο αλλά ντετερμινιστικό Σύμπαν, κάθε φορά που θα εκτελούσαν μια παρατήρηση θα έμπαιναν σε ένα από τα πιθανά σενάρια αφού και οι ίδιοι θα ήταν μέρος του μεγάλου συστήματος, αλλά και τα υπόλοιπα θα εξακολουθούσαν να εξελίσσονται.
Η θεώρηση αυτή του Everett έμεινε γνωστή ως "ερμηνεία των Πολλαπλών Συμπάντων" της Κβαντικής Θεωρίας, ή μάλλον των "πολλών συνειδήσεων", γιατί καθεμιά από τις υπερτιθέμενες διανοητικές καταστάσεις αντιλαμβάνεται το δικό της Σύμπαν. Η θεώρηση αυτή δεν χρειάζεται πλέον το αξίωμα της κατάρρευσης, αλλά το αντίτιμο που πληρώνει σε "πλήθος Συμπάντων" εφόσον όλες οι παράλληλες αντιλήψεις του Σύμπαντος είναι όλες εξίσου πραγματικές.
Η δουλειά του Everett είχε αφήσει δυο μεγάλα αναπάντητα ερωτηματικά:
1) Πρώτα απ' όλα, αν ο κόσμος περιέχει πραγματικά τέτοιες μκρο-υπερθέσεις, γιατί δεν τις αντιλαμβανόμαστε;
2) Ποιός φυσικός μηχανισμός επιλέγει τις κλασσικές καταστάσεις - η φιγούρα πάνω ή κάτω στην περίπτωσή μας - ως ειδικές για να προτιμηθούν;
Αποσυμφωνία (κατάρρευση) της υπέρθεσης:
Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα δόθηκε στα 1970 από τον Dieter Zeh του πανεπιστημίου της Heidelberg, ο οποίος έδειξε ότι η ίδια η εξίσωση Schrodinger επιβάλλει κάποιο τύπο "λογοκρισίας".
Το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό ως αποσυμφωνία ή καταστροφή της υπέρθεσης (decoherence). Η καταστροφή της υπέρθεσης μελετήθηκε διεξοδικά από τους Wojciech Zurek, Zeh και άλλους στις επόμενες δεκαετίες.
Αυτοί πρότειναν ότι οι σύμφωνες κβαντικές υπερθέσεις διαρκούν μόνο όσο παραμένουν "μυστικές" και απομονωμένες από το υπόλοιπο του Σύμαντος. Το κβαντικό τραπουλόχαρτο του παραδείγματός μας επικοινωνεί με τα μόρια του αέρα, με φωτόνια κλπ, τα οποία εξερευνούν με ποια όψη έχει πέσει, καταστρέφοντας έτσι την υπέρθεση και κάνοντάς την αδύνατη να παρατηρηθεί.
Ο πιο βολικός τρόπος να καταλάβουμε την καταστροφή της υπέρθεσης μαθηματικά είναι να κάνουμε χρήση μιας γενίκευσης της κυματοσυνάρτησης που λέγεται "πίνακας ή μήτρα πυκνότητας πιθανοτήτων" (density matrix).
Για κάθε κυματοσυνάρτηση υπάρχει μια αντίστοιχη τέτοια μήτρα (πίνακας), καθώς και μια αντίστοιχη εξίσωση Schrodinger για τις μήτρες αυτές.
Για παράδειγμαο πίνακας πυκνότητας για το κβαντικό τραπουλόχαρτο που πέφτει σε υπέρθεση θα μοιάζει κάπως έτσι:
Οι αριθμοί a και b είναι οι πιθανότητες να βρούμε το τραπουλόχαρτο με τη φιγούρα προς τα επάνω ή προς τα κάτω αντίστοιχα, και στην περίπτωσή μας θα ισούνται και τα δύο με 1/2. Πράγματι ένας πίνακας πυκνότητας με τη μορφή:
θα παριστάνει τη γνωστή κλασσική κατάσταση όπου το τραπουλόχαρτο δείχνει είτε την όψη της φιγούρας είτε την αντίθετη όψη, αλλά δεν γνωρίζουμε ποια.
Τα μη διαγώνια στοιχεία του πίνακα, τα c στην περίπτωσή μας παριστάνουν τις διαφορές μεταξύ της κβαντικής αβεβαιότητας των υπερθέσεων και της κλασσικής αβεβαιότητας που προέρχεται απλώς από άγνοια.
Ένα αξιοσημείωτο επίτευγμα της θεωρίας καταστροφής της υπέρθεσης είναι ότι εξηγεί πως η αλληλεπίδραση ενός αντικειμένου με το περιβάλλον του μεταβάλλει τα μη διαγώνια στοιχεία του πίνακα σε 0, αντικαθιστώντας έτσι την κβαντική υπέρθεση με απλή κλασσική άγνοια.
Η καταστροφή της κβαντικής υπέρθεσης μας εξηγεί γιατί δεν παρατηρούμε συνήθως κβαντικές υπερθέσεις στον Μακρόκοσμο γύρω μας. Δεν είναι ότι η Κβαντική Θεωρία σταματά να ισχύει από κάποιο "μαγικό" μέγεθος και πάνω, αλλά ότι είναι εξαιρετικά δύσκολο να απομονώσουμε ένα μακροσκοπικό σύστημα από το περιβάλλον του ώστε να εμποδίσουμε την καταστροφή της υπέρθεσης. Αντίθετα τα μικροσκοπικά αντικείμενα απομονώνονται πιο εύκολα και διατηρούν περισσότερο την κβαντική τους συμπεριφορά.
Προγνωσιμότητα:
Η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα σχετικά με τον φυσικό μηχανισμό που επιλέγει τις κλασσικές καταστάσεις ως ειδικές για να προτιμηθούν έχει ως εξής.
Από μαθηματική σκοπιά, οι κβαντικές καταστάσεις όπως "φιγούρα στην επάνω όψη + φιγούρα στην κάτω όψη" (ας την αποκαλέσουμε "κατάσταση άλφα") είτε η "φιγούρα στην επάνω όψη - φιγούρα στην κάτω όψη" (ας την αποκαλέσουμε "κατάσταση βήτα") είναι εξίσου ισχυρές κλασσικές καταστάσεις σαν τις "φιγούρα στην επάνω όψη" , "φιγούρα στην κάτω όψη".
Έτσι λοιπόν όπως ακριβώς το τραπουλόχαρτό μας που έπεσε στην κατάσταση "άλφα", και η κυματοσυνάρτηση του κατέρρευσε στην κατάσταση "φιγούρα στην επάνω όψη" ή "φιγούρα στην κάτω όψη", έτσι θα μπορούσε και ένα τραπουλόχαρτο που βρίσκεται αρχικά στην κατάσταση: "φιγούρα στην επάνω όψη" - η οποία ισούται με (άλφα + βήτα)/2 - να καταρρεύσει στην "άλφα" ή στην "βήτα" κατάσταση.
Γιατί όμως δεν παρατηρούμε ποτέ κάτι τέτοιο;
Η καταστροφή της υπέρθεσης απαντάει και στην ερώτηση αυτή. Οι υπολογισμοί έδειξαν ότι οι κλασσικές καταστάσεις θα μπορούσαν να οριστούν και να προσδιοριστούν, ως εκείνες οι καταστάσεις που είναι πιο ανθεκτικές απέναντι στην καταστροφή της υπέρθεσης.
Με άλλα λόγια η καταστροφή της υπέρθεσης κάνει κάτι παραπάνω από το να μετατρέπει σε 0 τα μη διαγώνια στοιχεία του πίνακα πυκνότητας πιθανότητας. Αν λοιπόν οι καταστάσεις "άλφα" και "βήτα" του τραπουλόχαρτου επιλέγονταν ως θεμελιώδεις βασικές καταστάσεις ο πίνακας πυκνότητας για το πεσμένο τραπουλόχαρτο θα ήταν διαγώνιος και με την απλή μορφή:
αφού το χαρτί θα ήταν σίγουρα στην κατάσταση "άλφα." Όμως η καταστροφή της υπέρθεσης θα άλλαζε σχεδόν στιγμιαία την κατάσταση αυτή σε:
Έτσι αν μπορούσαμε να μετρήσουμε αν το τραπουλόχαρτο ήταν στην "άλφα" ή "βήτα" κατάσταση, θα παίρναμε ένα τυχαίο αποτέλεσμα. Αντίθετα αν βάζαμε το χαρτί στην κατάσταση "φιγούρα προς τα επάνω" θα παρέμενε σ' αυτή χωρίς να υφίσταται καταστροφή υπέρθεσης.
Η καταστροφή της υπέρθεσης αποτελεί λοιπόν αυτό που ο Zurek ονόμασε "κόσκινο προγνωσιμότητας", επιλέγει δηλαδή εκείνες τις καταστάσεις που εμφανίζουν κάποια σταθερότητα και η χρήση των οποίων δίνει στη Φυσική κάποια προγνωστική δύναμη.
O Leonardo Pisano Bigollo (1170-1250 μ.Χ.), γνωστός επίσης και ως Λεονάρδος της Πίζας (Leonardo Pisano) , ή Leonardo Bonacci, ή Leonardo Fibonacci, ή απλούστερα Fibonacci, ήταν ένας Ιταλός μαθηματικός που από πολλούς θεωρείται ως ο πιο προικισμένος μαθηματικός της Δύσης, κατά τον Μεσαίωνα. Έμεινε στην ιστορία για την εισαγωγή στην Ευρώπη του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης και άλλων σπουδαίων καινοτομιών (ιδιαίτερα σε μια τόσο σκοτεινή εποχή για την Ευρώπη), αλλά κυρίως για την περίφημη ακολουθία του, την ακολουθία Fibonacci. [1]
Ήταν γιος του Ιταλού διπλωμάτη Γκιγιέρμο Μπονάτσι (Bonacci σημαίνει απλός), γι' αυτό και το πατρώνυμό του είναι το Φιμπονάτσι, δηλαδή γιος του Μπονάτσι (φίλιους Μπονάτσι). Ο ίδιος χρησιμοποιούσε και το όνομα Μπίγκολο, που σημαίνει “πολύ για το τίποτα” ή ταξιδιώτης. Το 1202 σε ηλικία 32 ετών συνέγραψε το έργο Liber Abacci (βιβλίο των υπολογισμών), με το οποίο συνέβαλε στην καθιέρωση των αραβικών αριθμών στην Ευρώπη και παρουσίασε ένα “νέο” πρόβλημα από το οποίο οδηγήθηκε στην περίφημη ακολουθία για την οποία είναι γνωστός. Στο έργο του αυτό αποδείκνυε την “πρακτικότητα” του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης στην τήρηση εμπορικών και λογιστικών βιβλίων, στις διάφορες χρηματικές συναλλαγές, στις μετατροπές μέτρων και σταθμών, στον υπολογισμό τόκων κλπ. Το βιβλίο αυτό αν και επηρρέασε θετικά τους λόγιους της Ευρώπης δεν έκανε γνωστό στο ευρύ κοινό το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, τουλάχιστον μέχρι την εφεύρεση της τυπογραφίας. [1]
Σε ότι αφορά το π, ο Fibonacci χρησιμοποίησε ένα κανονικό 96-γωνο, κατ΄αναλογία προς τον Αρχιμήδη, όπου όμως μπορούσε να υπολογίζει ευκολότερα τις τετραγωνικές ρίζες (με το νέο σύστημα αρίθμησης, δηλαδή το δεκαδικό). Στο έργο του Practica Geometriae που εξέδωσε το 1220, παρ΄ότι δεν ήταν το ίδιο “αυστηρός” με τον Αρχιμήδη στους υπολογισμούς, βρήκε πιο ακριβή αποτελεσματα από αυτά του μεγάλου Έλληνα σοφού. Πιο συγκεκριμμένα, βρήκε για το π την τιμή:
1440/(458+4/9) < π < 1440/(458+1/5),
με μέση τιμή για το π:
π = 864/275 = 3,141818,
δηλαδή τιμή που έχει σωστά τρία δεκαδικά ψηφία και που είναι μόλις κατά 0,0001 ακριβέστερη από την τιμή του Αρχιμήδη. [2]
Το έργο (Practica Geometriae), ήταν αφιερωμένο στον Dominicus Hispanus. Περιείχε ένα πλήθος γεωμετρικών προβλημάτων, ταξινομημένων σε 8 κεφάλαια , με θεωρήματα, που ήταν κυρίως βασισμένα στα στοιχεία του Ευκλείδη και (πιθανόν) στην αραβική εκδοχή της “διαίρεσης σχημάτων” του Ευκείδη, που έχει χαθεί. [1]
Η ακολουθία Fibonacci.
Στο τρίτο μέρος του liber abaci εμφανίζεται το εξής πρόβλημα:
Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι το μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο απο το αρχικό ζεύγος;
Το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... (ο Φιμπονάτσι παρέλειψε τον πρώτο όρο στο Liber abaci). Εδώ λοιπόν κάθε νέος όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων όρων. Η ακολουθία έχει αποδειχθεί εξαιρετικά χρήσιμη στην Επιστήμη. Το The Fibonacci Quarterly είναι ένα περιοδικό που είναι αφοσιωμένο στη μελέτη των μαθηματικών των σχετικών με την ακολουθία.
Επίσης αξίζει να σημειωθεί πως ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας όσο οι αριθμοί μεγαλώνουν προσεγγίζει όλο και περισσότερο τον γνωστό "χρυσό λόγο" που είναι ίσος με τον άρρητο αριθμό φ=1,61803...(φ προς τιμήν του Έλληνα γλύπτη Φειδία). Όπως παρατηρείτε: 2/1=2 , 3/2=1.5 , 5/3=1,666... , 8/5=1.6 , 13/8=1.625 , 21/13=1.615... , ... , 10946/6765=1,61803... , ... [1]
