Ηλεκτρομαγνητική θεωρία στις n+1 διαστάσεις. Νόμος του Gauss.

        Θεωρούμε ηλεκτρομαγνητική θεωρία σε n+1διαστάσεις (n χωρικές και 1 χρονική), η οποία περιγράφεται από τη Λαγκρανζιανή:

                                                                             

Θα επιχειρήσουμε να βρούμε τον αντίστοιχο νόμο του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο και να υπολογίσουμε το ηλεκτροστατικό δυναμικό ενός σημειακού ηλεκτρικού φορτίου σε η χωρικές διαστάσεις.

       Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι αν τα ηλεκτρόνια κινούνται σε δυναμικό:

                   

Στις η-χωρικές διαστάσεις, για να σχηματισθούν σταθερά άτομα πρέπει να είναι: n=3. Δηλαδή μόνον σε 3 χωρικές διαστάσεις μπορούν να υπάρξουν σταθερά άτομα (και κατά συνέπεια Χημεία, Βιολογία, και τελικά...εμείς)....

Carl Friedrich Gauss

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ n ΧΩΡΙΚΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

(Ευχαριστώ πολύ το συνάδελφο Σινάνη Χρήστο για τις συζητήσεις που είχαμε πάνω στο συγκεκριμένο θέμα)

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

              Στα επόμενα θα προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση του κύματος (1) σε n+1 διαστάσεις:

                                                                                          

για σφαιρικά συμμετρικό κύμα:

                                                                                 

και θα προσπαθήσουμε να δούμε (σε επίπεδο λύσεων), ότι η αρχή του Huygens ισχύει μόνο για περιττές χωρικές διαστάσεις: ν=1,3,5,...

         Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ